Dynamische Systeme

8, S. 121 - S. 152, Themenheft Mathematik mit GeoGebra 7-8, S. 30 - S. 31

Dynamische Systeme können in diskreten Zeitschritten in Differenzengleichungen berechnet werden (beispielsweise mit der Tabellenkalkulation) oder kontinuierlich mit Hilfe von Differentialgleichungen gelöst werden. Mit GeoGebra können diese Differentialgleichungen numerisch (Algebra-Ansicht) oder exakt (CAS-Ansicht) gelöst werden.

Mit GeoGebra stellen wir bei kontinuierlichen Modellen passend zu einer Funktion in zwei Variablen ein Richtungsfeld dar, wählen den Anfangswert durch den Punkt A und stellen die Lösungsfunktion dar. Die Differentialgleichung (oder ) wird dabei als Funktion in den beiden Variablen x und y eingegeben (vgl. Themenheft GeoGebra 7-8 - Dynamische Systeme).

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Variante:

• Differentialgleichung mit CAS lösen

• Lineares Wachstumsmodell

• Exponentielles Wachstumsmodell

• Beschränktes Wachstumsmodell
• Abkühlkurve (beschränktes Modell)
• Temperaturausgleich (beschränktes Modell)

• Logistisches Wachstumsmodell
• Fischpopulation (logistisches Modell)
• Langzeitverhalten der linearen Differenzengleichung

Differenzengleichungen sind - etwa bei zweidimensionalen Modellen zur Bewegung eines Körpers in einem Kraftfeld - auch für Vektoren möglich. So wird etwa die Position eines Körpers nach einem Zeitschritt aus seiner (momentanen) Geschwindigkeit mit einer Differenzengleichung für Vektoren berechnet:

Solche iterativen Berechnungen mit Vektoren sind natürlich eine hübsche Anwendung in der Tabellenansicht!

• Modell:Bewegung eines Körpers im Kraftfeld eines Zentralkörpers

GeoGebra stellt in der CAS-Ansicht den Befehl LöseDgl(<y'>,P) zur Verfügung, der versucht eine exakte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster und zweiter Ordnung zu finden.

• Temperaturausgleich (beschränktes Modell)
• Fischpopulation (logistisches Modell)