Beschränktes Wachstumgsmodell

tm.jpg 8, S. 122 - 123

Beim beschränkten Wachstum ist das Wachstum durch die Grenze G beschränkt. Die (relative) Änderungsrate (der Zuwachs pro Zeitschritt) ist proportional zur jeweiligen Differenz G - y(t).

Im folgenden GeoGebra-Beispiel wird die Lösung der Differentialgleichung tex:y'(t) = k \cdot (G - y(t)) dargestellt:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

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Aufgaben:

  • Variiere k und erkläre, wie die Lösung der Differentialgleichung tex:y'(t) = k \cdot (G - y(t)) von k abhängt!
  • Variiere den Anfangswert A und beschreibe, wie die Bestandsgröße y vom Anfangswert A abhängt!
  • Variiere den Grenzwert G und beschreibe, wie die Lösung der Differentialgleichung davon abhängt!
  • Stelle Richtungsfeld und die Lösungsfunktion durch den Anfangswert A für verschiedene Werte des Parameters k in Differentialgleichung tex:y'(t) = k \cdot (G - y(t)) dar! Wann liegt ein Wachstumsprozess, und wann liegt ein Zerfallsprozess vor?
  • Untersuche, wie die Lösungskurve von der Wahl des Anfangswerts A und von der Größe des Grenzwerts G abhängt!
  • Modelliere einen analogen diskreten Wachstumsprozess (z.B. mit Hilfe der Tabellenkalkulation)!

Beispiel: Abkühlkurve

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