Entwicklung einer Fischpopulation

8 S. 130 - 131

Der Populationszuwachs in einem Fischteich ist proportional zur Anzahl der vorhandenen Fische (vgl. exponentielles Modell) und proportional zum Freiraum (vgl. beschränktes Modell). Das logistische Modell kombiniert offensichtlich das exponentielle Modell und beschränkte Modell.

Beispiel: Fischpopulation (logistisches Wachstum)

Zu Beginn sind es 100 Fische, im ersten Jahr kommt es zu einem Zuwachs von 15 %. Der Lebensraum ist auf 1000 Fische beschränkt. Beschreibe die Entwicklung der Fischpopulation durch ein logistisches Modell!

Der Fischzuwachs $tex:\Delta y_n$ ist proportional zur Anzahl der Fische tex:y_n und zum Freiraum tex:G - y_n :

Differenzengleichung: $tex:\Delta y_n = k \cdot y_n \cdot (G - y_n)$

Dabei ist tex:y_n der Bestand nach tex:n Iterationen. Den Faktor tex:k berechnen wir aus dem Zuwachs bei der ersten Iteration:

$tex:y_1 - y_0 = k \cdot y_0 \cdot (G - y_0)$

$tex:k = \frac {y_1 - y_0} {y_0 \cdot (G - y_0)}$

Durch Grenzübergang $tex:\Delta t \rightarrow 0$ erhalten wir die Differentialgleichung: $tex:y'(t) = k \cdot y(t) \cdot (G - y(t))$ . Wir lösen die Differentialgleichung numerisch in der Algebra-Ansicht:

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Aufgaben:

Vergleiche mit dem diskreten Modell zur Entwicklung der Fischpopulation!
Untersuche, wie die Lösung von den Ausgangswerten (Anfangsbestand P, Grenzwert g, Zuwachs z) abhängt!
Vergleiche die Lösung mit der exakten Lösung in der CAS-Ansicht (Fischpopulation)!

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