Dynamische Systeme

Themenheft Mathematik mit GeoGebra 7 - 8, S. 30 - 31

Diskrete Modelle - Differenzengleichungen

Diskrete Wachstumsmodelle werden mit rekursiven Folgen beschrieben. Wir berechnen alle Folgenglieder durch Iteration in der Tabellenansicht.

Beispiel: Abkühlkurve (beschränktes Wachstum)

(vgl. Beschränktes Wachstumsmodell)

80°C heißes Wasser kühlt bei einer Raumtemperatur von 20°C während eines Zeitraumes von 60 Minuten ab. Bestimme die Abkühlkurve!

$tex:y_{n+1} = y_n + 0,03 \cdot (20 - y_n)$ mit tex:y_0 = 80

Lösung (Tabellenansicht):

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Wir erhalten aus obiger Iterationsgleichung die folgende Differenzengleichung:

$tex:y_{n+1} - y_n = 0,03 \cdot (20 - y_n)$ mit tex:y_0 = 80 , $tex:\Delta y = 0,3 \cdot (20 - y_n)$ mit

Beispiel: Bewegung im Kraftfeld eines Zentralkörpers

Differenzengleichungen sind - etwa bei zweidimensionalen Modellen zur Bewegung eines Körpers in einem Kraftfeld - auch für Vektoren möglich. So wird etwa die Position $tex:\vec s(t)$ eines Körpers nach einem Zeitschritt tex:dt aus seiner (momentanen) Geschwindigkeit $tex:\vec v(t)$ mit einer Differenzengleichung für Vektoren berechnet:

$tex:\vec s_{neu}(t) = \vec s_{alt}(t) + \vec v(t) \cdot dt$

Solche iterativen Berechnungen mit Vektoren sind natürlich eine hübsche Anwendung in der Tabellenansicht!

Modell:Bewegung eines Körpers im Kraftfeld eines Zentralkörpers

Beispiel: Fischpopulation (logistisches Wachstum)

(vgl. Logistisches Modell)

Zu Beginn sind es 100 Fische, im ersten Jahr kommt es zu einem Zuwachs von 15 %. Der Lebensraum ist auf 1000 Fische beschränkt. Beschreibe die Entwicklung der Fischpopulation durch ein logistisches Modell!

Lösung:

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Kontinuierliche Modelle - Differentialgleichungen

Beispiel: Abkühlkurve (beschränktes Wachstum)

80°C heißes Wasser kühlt bei einer Raumtemperatur von 20°C während eines Zeitraumes von 60 Minuten ab. Bestimme die Abkühlkurve!

Die Differenzengleichung gibt die Änderung der Zustandsgröße abhängig von einem diskreten Zeitschritt $tex:\Delta t$ an. Durch Grenzwertbildung $tex:\Delta t \rightarrow 0$ erhalten wir die Differentialgleichung:

$tex:y'(t) = 0,03 \cdot (20 - y)$ mit tex:y_0 = 80

Wir lösen die Differentialgleichung entweder numerisch in der Algebra-Ansicht oder exakt in der CAS-Ansicht.

Numerische Lösung (Algebra-Ansicht):