Lernpfad Fraktale

(zu tm.jpg 6, Folgen und Reihen, S. 71, S. 85, S. 88)

Bei diesem Lernpfad sammelst du Wissen zu einem faszinierenden, interdisziplinären Gebiet der Naturwissenschaften und Mathematik: Du untersuchst fraktale Strukturen, wie sie beispielsweise in der Natur, in der Technik und bei zahlreichen computergenerierten Grafiken vorkommen. Viele Ergebnisse lassen sich in ästhetisch ansprechenden Grafiken darstellen!

Foto: Alfred Nussbaumer

Fraktale Gebilde begegnen uns in der Natur sehr häufig. Wir untersuchen sie zum Beispiel in Zusammenhang mit geometrischen Reihen.

Geometrische Reihen

  • Halbkreise: Immer kleiner werdende Halbkreisbögen werden so aneinander gefügt, dass eine (lange?) „Wellenlinie“ entsteht …
  • Quadrate: Quadrate werden aneinander gefügt, wobei die Seitenlänge des folgenden Quadrats jeweils halbiert wird …
  • Quadrate: Quadrate werden auf der Geraden y = x „aufgefädelt“, wobei die Seitenlänge des folgenden Quadrats jeweils halbiert wird …

Screenshot: Alfred Nussbaumer

Iterativ konstruierte Fraktale

Fraktale lassen sich durch wiederholte Anwendung der gleichen Konstruktionsvorschrift erzeugen. Folgende GeoGebra-Applets stellen solche Verfahren vor - öffne die Konstruktion durch einen Doppelklick auf das Applet und führe die Konstruktion fort!

  • Die Kochinsel: Interpretieren wir das Innere der Schneeflockenkurve als zusammenhängende Fläche, so entsteht eine Insel. Wir untersuchen ihren Flächeninhalt und ihre Küstenlänge …

Die fraktale Dimension

Iterationen mit komplexen Zahlen

Chaos und Sierpinski-Dreieck

Wähle zufällig einen Punkt im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks …

Foto: A. Nussbaumer

Online Fraktal-Generatoren

Lindenmayer-Systeme

Lindenmayer-Systeme (L-Systeme) erlauben eine mathematische Beschreibung von fraktalen Strukturen, die sich in der Natur beobachten lassen. Die Selbstähnlichkeit wird durch die rekursive Ersetzung von Abbildungsregeln erreicht.

Beispiel:

Das obige Bild wurde mit Mark Masse's L-System Applet (Universität Konstanz) durch folgende Ersetzungsregeln erzeugt:

Axiom: X

Ersetzungsregeln:

X=c007700[+X]F[+FX][-X]FX[+X][w(2)c660011-F]X,

X=c007700[+X]F[+FX][-X]FX[+X][w(2)c660011-F]X

Anfangswinkel: 270°, Rotationswinkel 47°

Hinweis: Der Farbwert wird mit einem vorangestellten „c“ festgelegt,

die Strichstärke durch w(..).

Aufgabe:

Erkunde L-Systeme mit Online-Generatoren:

Ausblick

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