Fortlaufende Potenzen komplexer Zahlen

(zu tm.jpg 7)

Wir beobachten das Verhalten der Zahlenfolge z, z2, z3, z4, … unter der Bedingung, dass | z | = 1 gilt. Die Zahl z liegt in der Gauss'schen Zahlenebene somit auf dem Einheitskreis.

Wähle im folgenden GeoGebra-Beispiel den Startwert für z, indem du den roten Punkt A auf dem Einheitskreis verschiebst:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

Download der GeoGebra-Datei

Aufgaben:

  • Begründe: Die Zahlenfolge z, z2, z3, z4, … ist nicht konvergent.
  • Gib den Betrag der Folgenglieder z, z2, z3, z4, … an!
  • Vergleiche mit den fortlaufenden Potenzen reeller Zahlen: Welche Anfangswerte entsprechen den alternierenden reellen Zahlenfolgen? Gib Spezialfälle an!

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