Die Julia-Menge
Die Julia-Menge beschreibt das Verhalten von komplexen Zahlen z unter der Iteration . Startwert ist dabei jede komplexe Zahl in einem bestimmten Ausschnitt, die Zahl c legt das Aussehen der Julia-Menge fest.
Wähle im folgenden GeoGebra-Beispiel die Zahl c, indem du den roten Punkt S an eine bestimmte Stelle ziehst oder Real- und Imaginärteil als Koordinaten in der Eingabezeile festlegst. Starte die Animation und interpretiere das Ergebnis:
Aufgaben:
Lösche die dargestellte Juliamenge (Punktespur) mit <Strg>-F oder rufe das GeoGebra-Beispiel mit dem Reset-Icon neu auf, wenn du eine neue Juliamenge untersuchen möchtest!
- Die Julia-Menge ist zusammenhängend, wenn c eine Zahl aus dem Inneren der Mandelbrotmenge ist; andernfalls nicht zusammenhängend. Untersuche dies!
- Die Julia-Menge ist stets punktsymmetrisch zum Ursprung der Gauss'schen Zahlenebene. Untersuche dies!
- Die Julia-Menge für c = 0 ist die Fläche eines Kreises mit Radius r = 1. Untersuche und begründe dies!
- Untersuche und interpretiere die folgenden Darstellungen von Julia-Mengen!
- Unter welchen Voraussetzungen ist die Juliamenge „kreisförmig“?
- Unter welchen Voraussetzungen ist die Juliamenge geradensymmetrisch? Gib die Symmetrieachse(n) an!
- Wie unterscheiden sich die Juliamengen zu einer komplexen Zahl und zur konjugiert komplexen Zahl ?
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