Screenshot: Alfred Nussbaumer

Die Julia-Menge

(zu tm.jpg)

Die Julia-Menge beschreibt das Verhalten von komplexen Zahlen z unter der Iteration tex:z_{n+1} = z_n^2 + c. Startwert tex:z_0 ist dabei jede komplexe Zahl in einem bestimmten Ausschnitt, die Zahl c legt das Aussehen der Julia-Menge fest.

Wähle im folgenden GeoGebra-Beispiel die Zahl c, indem du den roten Punkt S an eine bestimmte Stelle ziehst oder Real- und Imaginärteil als Koordinaten in der Eingabezeile festlegst. Starte die Animation und interpretiere das Ergebnis:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

Download der GeoGebra-Datei

Aufgaben:

Lösche die dargestellte Juliamenge (Punktespur) mit <Strg>-F oder rufe das GeoGebra-Beispiel mit dem Reset-Icon neu auf, wenn du eine neue Juliamenge untersuchen möchtest!

  • Die Julia-Menge ist zusammenhängend, wenn c eine Zahl aus dem Inneren der Mandelbrotmenge ist; andernfalls nicht zusammenhängend. Untersuche dies!
  • Die Julia-Menge ist stets punktsymmetrisch zum Ursprung der Gauss'schen Zahlenebene. Untersuche dies!
  • Die Julia-Menge für c = 0 ist die Fläche eines Kreises mit Radius r = 1. Untersuche und begründe dies!
  • Untersuche und interpretiere die folgenden Darstellungen von Julia-Mengen!

c = 0:

c = -0.75 + 0.11 i:

c = -1:

c = -1.5:

c = 0.4:

c = 0.5:

c = 0.31 + 0.4 i:

c = 0.01 + 0.67 i:

c = 0.06 + 0.67 i:

c = 0.11 + 0.67 i:

c = 0.22 + 0.67 i:

c = 0.2 + 0.8 i:

c = 0.01 + 0.87 i:

c = 0.01 - 0.97 i:

c = i:

  • Unter welchen Voraussetzungen ist die Juliamenge „kreisförmig“?
  • Unter welchen Voraussetzungen ist die Juliamenge geradensymmetrisch? Gib die Symmetrieachse(n) an!
  • Wie unterscheiden sich die Juliamengen zu einer komplexen Zahl tex:c und zur konjugiert komplexen Zahl tex:\overline c?

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