Extremwertaufgaben, Optimierungsaufgaben: Grundlagen

(zu tm.jpg 7)

Zwei einführende Beispiele

Wir suchen beispielsweise das Minimum einer Funktion. Mit den Hilfsmitteln der Differentialrechnung ist dies in vielen Fällen exakt möglich:

Extremwertaufgaben sind ein Spezialfall von Optimierungsaufgaben: Bei Extremwertaufgaben suchst du Minima und Maxima reeller Funktionen. Diese Extrema sind Tiefpunkte und Hochpunkte der Funktion.

Begründe, welche Bedingungen für einen Tiefpunkt oder Hochpunkt gelten:

In einer typischen Extremwertaufgabe geht es darum, die Zielfunktion f zu finden und die Stelle zu berechnen, an der diese Funktion einen Tiefpunkt oder Hochpunkt hat.

Vereinfachung der Zielfunktion

Grafik: Alfred Nussbaumer

In der Abbildung sind die Zielfunktion f, f / 3 und ihr Quadrat f2 dargestellt. Beachte, dass die Stellen, an denen Extremwerte auftreten, dabei gleich bleiben!

Hinweis: Bildest du das Quadrat der Funktion, so wird aus einem Tiefpunkt der Funktion f ein Hochpunkt von f2.

Die Nullstellen der Funktion bilden die Tiefpunkte von f2.

Extremwertaufgabe - Vereinfachung der Zielfunktion (vgl. tm.jpg 7):

1. Vereinfachung der Zielfunktion: Die Stellen von Hoch- und Tiefpunkten bleiben unverändert, wenn du die Zielfunktion durch eine Konstante dividierst.

2. Vereinfachung der Zielfunktion: Die Stellen von Hoch- und Tiefpunkten bleiben unverändert, wenn du die Zielfunktion quadrierst.

Beachte, dass dem Tiefpunkt der Funktion f ein Hochpunkt der Funktion f2 entspricht.

Beispiele

Ebene Aufgaben

Räumliche Aufgaben

Anwendungsbeispiele

  • Von welchem Punkt aus ist die Summe aller Verbindungen zu allen Punkten der Fläche am kleinsten (zur Aufgabe)?

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