Folgen und Reihen
6, S. 53 - 88
Mathematische Folgen sind durch Iterationsprozesse gekennzeichnet. Die einzelnen Glieder einer Folge können mit dem GeoGebra-Befehl Folge(<Ausdruck>,<Variable>,<Startwert>,<Endwert>) bestimmt werden.
Beispiel:
Folge(n^2,n,1,10) gibt die Folge der Quadratzahlen von 1 bis 10 aus (Liste1 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}).
Iterationsprozesse
Wir führen Iterationsprozesse entweder mit dem GeoGebra-Befehl Folge() durch und erhalten als Ergebnis eine Liste, oder wir berechnen die einzelnen Folgenglieder in der Tabellenansicht und erhalten die Ergebnisse in einer Tabellenspalte.
Reelle Zahlenfolgen
Eigenschaften von Folgen
Wir untersuchen die Monotonie von Folgen und die Beschränktheit von Folgen.
Grenzwerte
Für jeden Bereich gibt es ein entsprechendes n
Vollständigkeit der reellen Zahlen
Arithmetische und geometrische Folgen
Wir können arithmetische und geometrische Folgen rekursiv und explizit darstellen. Beide Folgen haben ein bemerkenswerte, grundlegende Eigenschaft…
Arithmetische und geometrische Reihen
Geometrische Reihen finden sich bei selbstähnlichen Figuren:
- Halbkreise: Kleiner werdende Halbkreise bilden eine „Wellenlinie“ …
- Quadrate: Kleiner werdende Quadrate bilden zusammen eine Fläche …
- Quadrate: Quadrate werden entlang der Geraden y = x „aufgefädelt“ - berechne den Umfang aller Quadrate!
Hinweis: Mit GeoGebra lassen sich arithmetische und geometrische Reihen mit dem Befehl
Summe(Folge(<Ausdruck>, <Variable>, <Startwert>, <Endwert>))
berechnen: Arithmetische und geometrische Reihen
- Gesamtlänge von Halbkreisbögen ... („Wellenlinie“)
- Gesamtlänge von Halbkreisbögen ... („Spirale“)
Anwendungen in der Finanzmathematik
Die Zahl e
Die eulersche Zahl e ist eine der wichtigsten Konstanten in der höheren Mathematik.
Vollständige Induktion
Ausblick:Fraktale
- Die Kochinsel (zur Schneeflockenkurve)
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