Nullstellen und Polynomfunktionen

(zu Thema Mathematik 5 5, Thema Funktionen)

Eine Funktion mit der Gleichung tex:f(x) = a x^5 + b x^4 + c x^3 + d x^2 + e x + f ist eine Polynomfunktion 5. Grades: Es treten nur ganzzahlige, positive Exponenten auf, und der größte Exponent ist 5. Solche Funktionen können bis zu fünf verschiedene Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) haben.

Wähle im folgenden GeoGebra-Beispiel zunächst den Grad der Polynomfunktion aus und untersuche anschließend, wie ihre Form von der Wahl der Nullstellen und des Durchstoßpunkts F durch die y-Achse abhängt!

Screenshot: Alfred Nussbaumer

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Aufgaben:

  • Untersuche, wie die Lage der Nullstellen zueinander die Form des Funktionsgraphen beeinflussen!
  • Kommen zwei Nullstellen aufeinander zu liegen, sprechen wir von einer Doppel-Nullstelle. Was bewirkt das für die Gestalt des Funktionsgraphen?
  • Welche Eigenschaften hat der Funktionsgraph in der Nähe einer dreifachen Nullstelle?
  • Untersuche symmetrische Funktionsgraphen: Teile dazu eine gerade Anzahl von Nullstellen symmetrisch zum Koordinatenursprung auf!
  • Untersuche und beschreibe, welche Wahl der Nullstellen keine Lösung ergibt!

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