Trigonometrie
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Aufgabe TM5-928
Zeichnet ein Dreieck beliebiger Größe und vergleicht verschiedene Verhältnisse des Typs
$\frac{a}{\sin(\alpha)}, \frac{b}{\sin(\beta)}, \frac{a}{\cos(\alpha)}, \frac{b}{\cos(\beta)},\dots $
Welche Verhältnisse stimmen bei eurem Dreieck überein?
Ändert Form und Größe des Dreiecks und überprüft, welche Verhältnisse nunübereinstimmen!
Ausführung mit GeoGebra
Hinweise:
Du kannst mit dem Werkzeug Vieleck
rasch ein Dreieck zeichnen.
Sämtlich Innenwinkel erhältst du, wenn du das Winkelwerkzeug anwählst und einfach auf das Dreieck klickst.
Für die Berechnungen kannst du die griechischen Buchstaben rasch mit ALT+Anfangsbuchstabe eingeben, z.B. Alt-a für $\alpha$.
Du siehst, auch wenn du einen der Eckpunkte veränderst, die folgenden Verhältnisse sind jeweils gleich groß:
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} =\frac{c}{\sin(\gamma)}$
Aufgabe TM5-929
Recherchiert im Internet:
Wie lautet die trigonometrische Flächenformel für Dreiecke?
Gebt je ein Beispiel für ein Dreieck an, bei dem diese Formel sinnvoll bzw. nicht sinnvoll verwendet werden kann.
Begründet eure Entscheidung!
Ausführung
$A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma) =\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin(\alpha) =\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin(\beta) $
Diese Beziehung ergibt sich z.B. aus der üblichen Dreiecksformel $A = \frac{c\cdot h_c}{2}$ wobei $h_c$ mit dem Sinus ausgedrückt wird, also $\sin(\alpha)=\frac{h_c}{b}\Rightarrow h_c=b\cdot\sin(\alpha)$
Sinnvoll, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind.
Aufgabe TM5-966
Drehe das Dreieck ABC[A=(4|0),B=(0|2),C=(−2|−1)] um 50° gegen den Uhrzeigersinn um den
Koordinatenursprung.
Gib die Polarkoordinaten des gedrehten Dreiecks A'B'C' an.
Ausführung mit GeoGebra
Hinweise:
Gib die drei Eckpunkte ein und erzeuge das Dreieck (mit dem Werkzeug Vieleck
.
Wende das Werkzeug oder den Befehl Drehe
auf das Dreieck an.
Um die Polarkoordinaten der gedrehten Eckpunkte zu erhalten ändere einfach bei diesen Punkten (mit der rechten Maustaste) die Darstellung von kartesichen Koordinaten auf Polarkoordinaten.
Aufgabe TM5-976a
Ein viereckiges Grundstück ABCD wird vermessen.
Berechne seinen Umfang!
$\overline{AB} = 450 m, \overline{BC} = 380 m, \measuredangle ABC = 142°,\measuredangle BAD = 96,5°,\measuredangle BCD = 64°$.
Ausführung mit GeoGebra
Hinweise:
Du kannst das Dreieck mit GeoGebra auch genau konstruieren.
Beginne mit dem Punkt A:=(0,0) und zeichne einen Kreis mit Radius 450
Anschließend zeichne bei A und B die entsprechenden Winkel ein und errichte von A und B aus Strahlen unter diesen Winkeln.
Zeichne bei B einen zweiten Kreis mit Radius 380 und schneide diesen mit dem Strahl der von B ausgeht, du erhältst C.
Zeichne nun bei C den angegebenen Winkel ein und errichte wieder von C aus einen Strahl.
Schneide nun den Strahl der von A und den, der von C ausgeht, du erhältst Punkt D.
Nun zeichne das Viereck ein und berechne den Umfang, du erhältst $u \approx 2383,16$ m
Aufgabe TM5-1001
Eine geradlinige Straße steigt gleichmäßig unter einem Winkel von 7° an. Von einem Punkt der Straße aus sieht man die Spitze eines
Strommastes unter einem Höhenwinkel von 21°. Geht man auf der Straße 450 m näher, erscheint die Spitze bereits unter einem Höhenwinkel von 46°. Der Fußpunkt des Turmes liegt in der selben Ebene wie der 1. Beobachtungspunkt.
Wie hoch ist der Strommast?
Ausführung
Skizze:
Hinweise:
Wir berechnen zuerst die Strecke $s$ mit dem Sinussatz.
Anschließend berechnen wir die Strecke $h$ ebenfalls mit dem Sinussatz.
Beachte, dass in Zeile #3 mit der Leertaste s aus Zeile #2 übernommen werden kann, hier aber für die Weiterverwendung als Varible definiert wird, d.h. einen festen Wert bekommt.
Aufgabe TM5-1004
Ein Flugzeug sinkt im Gleitflug aus der Höhe $h$ mit dem Gleitwinkel $\varphi$. Welchen Flugweg legt das Flugzeug dabei zurück? Wie lang ist die Gleitstrecke?
$h = 380 m, \varphi = 5,4°$
Ausführung mit GeoGebra