Gleichungen
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Lösen von Gleichungen mit Technologie …
Selbstverständlich solltest du die folgenden Gleichungen „mit der Hand“ lösen können.
Wichtig ist, die Technologie nicht gedankenlos einzusetzen.
Es geht hier darum, zu zeigen, wie dich die Technologie bei einzelnen - vielleicht schwierig erscheinenden Zwischenschritten - unterstützen kann oder dir bei einer eventuellen Fehlersuche helfen kann.
Damit du die einzelnen Schritte siehst, ist es meist besser, nicht einfach auf den Button Löse = zu drücken, sondern die Äquivalenzumformungen „Schritt für Schritt“ durchzuführen.
Aufgabe TM5-425a
Vereinfache und löse durch geeignete Äquivalenzumformungen:
$\frac{x-1}{3}+\frac{x+1}{4}+\frac{6x+50}{2}=50$
Ausführung mit GeoGebra
Hinweise:
Aufgabe TM5-433a
Aufgabe TM5-449e
Bringe die folgende Gleichung in die Form $T_L^2=0$ und löse sie!
$9x^2-12x+4=0$
Ausführung mit GeoGebra
Hinweis: Markiere die linke Seite der Gleichung und wende den Befehl Faktorisiere an!
Damit kannst du die beiden Lösungen $x_{1,2}=\frac{2}{3}$ ablesen.
Aufgabe TM5-458d
Löse die Gleichung durch Anwendung des Produkt-Null-Satzes
Ausführung mit GeoGebra
Hinweise:
Mit Hilfe der Befehle LinkeSeite[$1] bzw.RechteSeite[$1] kannst du auf die linke und rechte Seite der Gleichung in Zeile 1 zugreifen
Markiere in Zeile 3 die linke Seite der Gleichung und wende den Befehl Faktorisiere an!
Damit kannst du die beiden Lösungen $x_1=0$ und $x_2=-36$ ablesen.
Aufgabe TM5-479f
Löse die folgende Aufgabe durch Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat!
$x^2-\frac{2x}{3}-\frac{2}{3}=0$
Ausführung mit GeoGebra
Hinweis: mit dem Befehl VollständigesQuadrat[(quadratischer) Term] in die gewünschte Form umgewandelt werden.
Damit kannst du weiterrechnen:
$x-\frac{1}{3}=\pm \sqrt{\frac{7}{9}}$
$x=\frac{1}{3}\pm \frac{\sqrt{7}}{3}$
$x_1=\frac{1-\sqrt{7}}{3}$,$x_2=\frac{1+\sqrt{7}}{3}$,
Aufgabe TM5-488h
Verwende den Satz von Vieta um Lösungen der Gleichung
$x^2+16x+63=0$
zu finden.
Ausführung mit GeoGebra
Hinweise:
Es ergeben sich die beiden Lösungen $-9$ und $-7$. Damit können wird die Gleichung auch in ihrer faktorisierten Form $(x-(-9))\cdot (x-(-7))=0$ bzw. einfacher $(x+9)\cdot (x+7)=0$ anschreiben.
Wenn wir auf die linke Seite der Gleichung den Befehl ''Faktorisiere“ anwenden, erhalten wir das selbe Ergebnis.
Aufgabe TM5-503b,e
Löse die folgenden Aufgaben! Gib die Ergebnisse in exakter und näherungsweiser Form an!
b) $17x^2-13x-11=0$
e) $x^2 + 2\sqrt{2}\cdot x + 2 = 0 $
Ausführung mit GeoGebra
Aufgabe TM5-524d
Löse die folgende Gleichung durch Abspalten von Linearfaktoren
$2x^3+21x^2+67x+60=0$ wobei $x_1=-4$
Ausführung mit GeoGebra
Hinweise:
Mit dem Befehl Division(Dividend-Polynom,Divisor-Polynom) kannst du Linearfaktoren von einem Polynom abspalten, also das ein durch das anderes Polynom dividieren.
Mit dem Befehl Faktorisiere(Polynom) kannst du Polynome in ihre Produktdarstellung überführen.
Aufgabe TM5-565a
Löse die folgende Gleichungssystem:
$6,4 x +7,1y =0,02$
$5,3x +1,5y =7,9$
Ausführung mit GeoGebra
Hinweise:
Du kannst in GeoGebra das Gleichungssystem einfach dadurch lösen, dass du die beiden Eingabezeilen markierst und anschließend auf das Lösungswerkzeug Löse = klickst.
Ein Darstellung mit Dezimalzahlen erhältst du, wenn du die Lösung einfach nochmals mit dem Werkezug $\approx$ vereinfachst.
Aufgabe TM5-578
Das Verhältnis vom Goldenen Schnitt:
Zwei Größen $a$ und $b$ ergeben in Summe 1.
Es verhält sich $a$ zu $b$ gleich wie $1$ zu $a$.
Wie lautet das Verhältnis $a:b$?
Also:
$a+b=1$
$a:b =1:a$
Hinweis: Das Verhältnis vom Goldenen Schnitt ist seit der Antike bekannt. Sein Wert wird mit $\Phi$ („Phi“) bezeichnet.
$\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,61803398874989484...$
Es tritt oft in überraschender Weise in Mathematik, Natur und Kunst auf.
Ausführung mit GeoGebra
Wir erhalten das Verhältnis von $a:b$ indem wir zuerst das Gleichungssystem lösen und von einer der beiden Lösungspaare das Verhältnis bilden.
Anmerkung: das Verhältnis vom Goldenen Schnitt besitzt eine besonders schöne, unendliche Kettenbruchdarstellung.
