Lernpfad: Vierecke

(zu tm.jpg 5 S. 220 -222, 7)

Du fasst in diesem Lernpfad das Wissen aus der „Elementargeometrie“ der Unterstufe zusammen, erweiterst es um neue Aspekte, Begründungen und Beweisen und stellst dein Wissen in Zusammenhang mit Objekten der nichtlinearen analytischen Geometrie (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel).

Die Familie der Vierecke

Fasse - ausgehend vom Quadrat - alle Vierecke zusammen und gib an, welches Viereck welche Eigenschaften eines anderen Vierecks hat!

Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)
Quadrat
Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)
Rechteck
Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)
Raute
Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)
Gleichschenkliges Trapez
Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)
Parallelogramm
Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)
Deltoid
Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)
Trapez als Sehnenviereck
Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)
Sehnenviereck
Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)
Trapez
Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)
Deltoid als Tangentenviereck
Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)
Tangentenviereck
Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)
Viereck

Sonderformen

Im konvexen Viereck liegen die Diagonalen innerhalb des Vierecks. Bei Vierecken mit „einspringenden Ecken“ (konkave Vierecke) liegt eine Diagonale außerhalb des Vierecks:

Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)

Einen Sonderfall stellt das konkave Deltoid dar:

Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)

Beim überschlagenen Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks - zwei Seiten schneiden einander.

Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)

Sehnenviereck

Beim Sehnenviereck liegen alle vier Eckpunkte auf einem Kreis, das Sehnenviereck hat somit einen Umkreis.

Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)

Einen interessanten Spezialfall kannst du beim Deltoid betrachten, das zugleich ein Sehnenviereck ist. Gib seine besonderen Eigenschaften an:

Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)

Lies Details im Artikel zum Sehnenviereck nach und löse die dort gestellten Aufgaben!

Tangentenviereck

Beim Tangentenviereck berühren alle Seiten des Vierecks einen Kreis, das Tangentenviereck hat somit einen Inkreis.

Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)

Einen interessanten Spezialfall kannst du beim Trapez betrachten, das zugleich ein Tangentenviereck ist. Gib seine besonderen Eigenschaften an:

Grafik: Alfred Nussbaumer (geogebra)

Lies Details im Artikel zum Tangentenviereck nach und löse die dort gestellten Aufgaben!

Eingeschriebene Vierecke

In einen Kreis, in einer Ellipse oder Halbellipse können Vierecke eingeschrieben sein - oft sind sie symmetrisch. Skizziere solche Kurven und Vierecke und fasse ihre Eigenschaften zusammen!

Flächenberechnung

Jedes Viereck kann aus zwei Dreiecken zusammengesetzt werden: Erkläre, wie daher der Flächeninhalt eines jeden Viereckes bestimmt werden kann!

Eräutere und begründe die folgenden Formeln für den Flächeninhalt:

  • Diagonalen e und f stehen aufeinander normal: tex:A = \frac {e \cdot f} 2
  • Im allgemeinen Viereck gilt: tex:A = \frac 1 2 \cdot \sqrt{\vert \vec e \vert ^2 \cdot \vert \vec f \vert ^2 - (\vec e \cdot \vec f)^2}
  • Erläre, wie die Formel für den Flächeninhalt eines Vierecks mit aufeinander normal stehenden Diagonalen aus der Flächeninhaltsformel für das allgemeine Viereck folgt!

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