Polarkurven

7, Themenheft GeoGebra

Für eine Reihe von Kurven ist die Polardarstellung günstig. Wir legen dabei den Radius r der Kurve als Funktion des Polarwinkels θ fest: r(θ).

Beispiel: Polarkoordinaten beim Mittelpunktskreis

Der Kreis mit Radius 2 wird als Polarkurve definiert: $tex:r(\theta) = 2$

Hinweise:

Im obigen Beispiel verwenden wir statt des Symboles θ einfach die Variable t.
Für die Ausgabe als parametrisierte Kurve verwenden wir den GeoGebra-Befehl Kurve(<Ausdruck in x>,<Ausdruck in y>,<Parameter>,<Startwert>,<Endwert>). Dazu wandeln wir die Polarkoordinaten ins rechtwinklige Koordinatensystem um: $tex:x = r \cdot \cos t$ , $tex:x = r \cdot \sin t$ .

Die Polarkurve $tex:r(\theta) = 4 \cos(\theta)$ legt einen Kreis mit Mittelpunkt M(2|0) und Radius 2 fest:

Wir rechnen nach:

$tex:r = 4 \cos(\theta)$

$tex:r^2 = 4r\cos(\theta)$

tex:x^2 + y^2 = 4 x

daher: tex:(x - 2)^2 + y^2 = 4 , M(2|0); r = 2

Die Polarkurve $tex:r(\theta) = \frac 6 {3 \sin(\theta) + 2 \cos(\theta)}$ legt eine Gerade fest:

Wir rechnen nach:

$tex:r(\theta) = \frac 6 {3 \sin(\theta) + 2 \cos(\theta)}$ | Multiplikation mit dem Nenner liefert:

$tex:3 \cdot r \cdot \sin(\theta) + 2 \cdot r \cdot \cos(\theta) = 6$

tex:3 y + 2 x = 6 , und in Abschnittsform: $tex:\frac x 3 + \frac y 2 = 1$ (vergleiche die Spurpunkte!)

Rechne nach!

Stelle Spiralen als Polarkurven dar!
Stelle Rosettenkurven als Polarkurven dar!
Recherchiere weitere (parametrisierte) Kurven und bestimme ihre Polardarstellung!
Vergleiche mit Lemniskaten!