Polarkurven

tm.jpg 7, Themenheft GeoGebra

Für eine Reihe von Kurven ist die Polardarstellung günstig. Wir legen dabei den Radius r der Kurve als Funktion des Polarwinkels θ fest: r(θ).

Beispiel: Polarkoordinaten beim Mittelpunktskreis

Der Kreis mit Radius 2 wird als Polarkurve definiert: tex:r(\theta) = 2

Screenshot: Alfred Nussbaumer

Hinweise:

  • Im obigen Beispiel verwenden wir statt des Symboles θ einfach die Variable t.
  • Für die Ausgabe als parametrisierte Kurve verwenden wir den GeoGebra-Befehl Kurve(<Ausdruck in x>,<Ausdruck in y>,<Parameter>,<Startwert>,<Endwert>). Dazu wandeln wir die Polarkoordinaten ins rechtwinklige Koordinatensystem um: tex:x = r \cdot \cos t, tex:x = r \cdot \sin t.

Beispiel: Kreis

Die Polarkurve tex:r(\theta) = 4 \cos(\theta) legt einen Kreis mit Mittelpunkt M(2|0) und Radius 2 fest:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

Wir rechnen nach:

tex:r = 4 \cos(\theta)

tex:r^2 = 4r\cos(\theta)

tex:x^2 + y^2 = 4 x

daher: tex:(x - 2)^2 + y^2 = 4, M(2|0); r = 2

Beispiel: Gerade

Die Polarkurve tex:r(\theta) = \frac 6 {3 \sin(\theta) + 2 \cos(\theta)} legt eine Gerade fest:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

Wir rechnen nach:

tex:r(\theta) = \frac 6 {3 \sin(\theta) + 2 \cos(\theta)} | Multiplikation mit dem Nenner liefert:

tex:3 \cdot r \cdot \sin(\theta) + 2 \cdot r \cdot \cos(\theta) = 6

tex:3 y + 2 x = 6, und in Abschnittsform: tex:\frac x 3 + \frac y 2 = 1 (vergleiche die Spurpunkte!)

Beispiel: Parabel

Screenshot: Alfred Nussbaumer

Rechne nach!

Beispiel: Kardioide (Herzkurve)

Aufgaben:

  • Stelle Spiralen als Polarkurven dar!
  • Stelle Rosettenkurven als Polarkurven dar!
  • Recherchiere weitere (parametrisierte) Kurven und bestimme ihre Polardarstellung!
  • Vergleiche mit Lemniskaten!

Zurück zu parametrisierte Kurven