Eine Funktion in kartesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten darstellen

(zu tm.jpg)

Aus dem kartesischen Graph einer Funktion tex:r(x) lässt sich eine Polardarsellung tex:r(\phi) ableiten, indem die x-Koordinate als Drehwinkel tex:\phi und die y-Koordinate als Abstand r vom Koordinatenursprung interpretiert wird.

In den folgenden GeoGebra-Applets wird sowohl der kartesische Graph als auch die zugehörige Polardarstellung an verschiedenen, grundlegenden Funktionen gezeigt.

Konstante Funktion / Kreis

Untersuche die Polardarstellung der konstanten Funktion r(x) = 2. Verschiebe dazu im folgenden Geogebra-Datei den roten Punkt A auf dem kartesischen Graph und beobachte die Spur des blauen Punktes B auf dem Polargraph:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

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Lineare Funktion / Spirale

Untersuche die Polardarstellung der linearen Funktion r(x) = 2 + 0,2 x. Verschiebe dazu im folgenden Geogebra-Beispiel den roten Punkt A auf dem kartesischen Graph und beobachte die Spur des blauen Punktes B auf dem Polargraph:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

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Sinusfunktion / Herzkurve

Untersuche die Polardarstellung der Sinusfunktion r(x) = 2 - 1,5 sin(x/2). Verschiebe dazu im folgenden Geogebra-Beispiel den roten Punkt A auf dem kartesischen Graph und beobachte die Spur des blauen Punktes B auf dem Polargraph:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

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Sinusfunktion / Herzkurve

Untersuche die Polardarstellung der Sinusfunktion r(x) = 1 + 2 sin(x/2). Verschiebe dazu im folgenden Geogebra-Beispiel den roten Punkt A auf dem kartesischen Graph und beobachte die Spur des blauen Punktes B auf dem Polargraph:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

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Beschreibe den Unterschied zur oben dargestellten Herzkurve!

Cosinusfunktion / Rosette

Untersuche die Polardarstellung der Cosinusfunktion r(x) = 2 - 2 cos(4x). Verschiebe dazu im folgenden Geogebra-Beispiel den roten Punkt A auf dem kartesischen Graph und beobachte die Spur des blauen Punktes B auf dem Polargraph:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

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Cosinusfunktion / Lemniskate

Untersuche die Polardarstellung der Cosinusfunktion r(x) = 2 - 2 cos(2x). Verschiebe dazu im folgenden Geogebra-Beispiel den roten Punkt A auf dem kartesischen Graph und beobachte die Spur des blauen Punktes B auf dem Polargraph:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

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Beschreibe den Unterschied zur oben dargestellten Rosettenkurve!

Lies im Online-Lexikon nach: WikiPedia: Lemniskate

Aufgaben:

  • Beschreibe, wie die Eigenschaften einer Funktion aus der kartesischen Darstellung abgelesen werden können!
  • Beschreibe, wie die Eigenschaften einer Funktion aus der Polardarstellung abgelesen werden können!
  • Erläutere, für welche Funktionen sich die Polardarstellung besonders gut eignen könnte!
  • Lies und bearbeite den Artikel zu parametrisierten Kurven!

Siehe auch: Polarkoordinaten, Polardarstellung