Berechnen der Bogenlänge

- 8, S. 54 - 55

Die Bogenlänge ist uns seit der Berechnung des Kreisumfangs oder des Umfangs eines Kreissektors bekannt.

Bogenlänge des Kreisbogens

Wiederhole, wie du die Länge des Kreisbogens (Radius r, Winkel φ) berechnest!

Der Umfang des Kreises

Bogenlänge einer Funktion

Die Bogenlänge einer Kurve wird mit dem bestimmten Integral berechnet. Dazu setzen wir die Kurve aus lauter kleinen Strecken zusammen und berechnen die Länge dieses Streckenzuges:

$tex:\Delta l = \sqrt{\Delta x ^2 + \Delta y ^2} = \sqrt{1 + \frac {\Delta y^2} {\Delta x^2}} \cdot \Delta x$
Für „unendlich kleine“ Streckenabschnitte erhalten wir $tex:dl = \sqrt{1 + f'(x)^2} dx$
Damit ergibt sich die gewünschte Bogenlänge als bestimmtes Integral $tex:l = \int_a^b dl = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} dx$