Volumsberechnung

8, S. 52 - 53

Rotationskörper entstehen, wenn sich Kurven um 360° um eine Achse drehen. Diese Drehung kann in der GeoGebra Grafik 3D-Ansicht mit dem GeoGebra-Befehl Drehe(<Kurve>,<Winkel>,<Achse>) dargestellt werden.

Das Volumen V_y einer Körpers, der durch Rotation des Graphen von f(x) über dem Intervall [y₁; y₂] um die y-Achse entsteht, ist durch das bestimmte Integral

$tex:V_y = \pi \cdot \int_{y_1}^{y_2} x^2 dy$ , $tex:x = f^{-1}(y)$ gegeben.

Beispiel: Ein Rotationskörper entsteht durch Rotation des von den Koordinatenachsen und von den folgenden Kurven begrenzten Flächenstückes:

$tex:f(x) = \sqrt {x^2 - 1}$
$tex:g(x) = 2 + \frac {x^2} 4$

Berechne sein Volumen!

Wir stellen die Kurven und ihre Rotation um die y-Achse in der Grafik 3D-Ansicht dar und berechnen die bestimmten Integrale:

Für die Umkehrfunktionen erhalten wir:

$tex:f^{-1}: x^2 = y^2 + 1$
$tex:g^{-1}: x^2 = 4y - 8$

Download der GeoGebra-Datei

Ergebnis: V ≈ 31,42

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