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Wir untersuchen die Zahlenfolge z, z², z³, z⁴, … komplexer Zahlen. Der Betrag der komplexen Zahl z, die den Startwert der Folge bildet, ist 1 - sie liegt jedenfalls auf dem Einheitskreis in der Gauss'schen Zahlenebene.

Im folgenden GeoGebra-Applet werden die Folgenglieder in der Gauss'schen Zahlenebene abhängig vom Folgenindex n in übereinanderliegenden Ebenen dargestellt. Auf diese Weise entsteht ein Schrägriss (Re(z), Im(z), n), in dem sich die Entwicklung der Zahlenfolge „nach oben hin“ gut ablesen lässt.

Wähle mit dem roten Punkt auf dem im Schrägriss dargestellten Einheitskreis den Startwert für z und beobachte das Verhalten der Zahlenfolge!

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• Beschreibe das Verhalten der Folgenglieder z, z², z³, z⁴, …! Wie hängt der beobachtete Streckenzug, der die Folgenglieder verbindet, von der Lage des Startwerts ab?
• Gib an, welchen Betrag die Folgenglieder z, z², z³, z⁴, … jeweils haben!
• Vergleiche mit der üblichen Darstellung der fortlaufenden Potenzen für z in der Gauss'schen Zahlenebene (z.B. Beispiel 2)!

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