GeoGebra 3.2: Texte codieren, Listen bearbeiten, Restklassenarithmetik

- Themenheft Mathematik mit GeoGebra, Kryptographie

Alle bedeutenden kryptographischen Verfahren basieren auf mathematischen Algorithmen. Zu verschlüsselnde Texte werden daher in die einzelnen, aufeinanderfolgenden Buchstaben zerlegt, denen ihr Index in der ASCII-Tabelle zugeordnet wird:

A 65

B 66

…

Für alle Großbuchstaben sind somit 26 Indizes belegt - Ä, Ö oder Ü werden in dieser Reihe nicht berücksichtigt.

Um die Ergebnisse beim Potenzieren klein zu halten, ist es günstig, alle ASCII-Indizes um 64 oder 65 zu vermindern.

atext = TextzuUnicode[nachricht]

liefert eine Liste der Ascii-Codes.

nachricht = UnicodeZuText[atext]

liefert eine Liste der Buchstaben zu den ASCII-Indizes in der Liste atext

nachricht="KRYPTO"
atext=TextzuUnicode[nachricht]

liefert

atext = {75,82, 89, 80, 84, 79}

Mit einer Schleife verringern wir alle Indizes in der Liste um 64.

itext = Folge[Element[atext,i]-64,i,1,Länge[atext]]

liefert

itext = {11, 18, 25, 16, 20, 15}

Um beispielsweise alle Indizes um 3 zu erhöhen (vgl. Caesar-Verschlüsselung), verwenden wir wieder eine Schleife. Beachte, dass alle Indizes über 26 mit Hilfe der Modulo-Funktion reduziert werden:

ictext=Folge[Mod[Element[itext, i] + 3, 26], i, 1, Länge[itext]]

liefert

ictext = {14, 21, 2, 19, 23, 18}

Zuletzt verschieben wir die Indizes wieder um 64 und geben den Text aus:

actext=Folge[Element[ictext, i] + 64, i, 1, Länge[ictext]]
chiffre=UnicodeZuText[actext]

liefert

NUBSWR

Die GeoGebra-Funktion Folge[] erzeugt eine Liste, deren Elemente von den Argumenten von Folge[Ausdruck, Laufvariable, Startwert, Endwert] gebildet werden.

Das i-te Element einer Liste wird mit der GeoGebra-Funktion

Element[Liste,i]

ausgegeben.

Mod[n,m]

liefert den ganzzahligen Rest bei der Division n : m

Beachte: Bei großen Zahlen n und m liefert die Mod[]-Funktion kein Ergebnis.

liste=Folge[Mod[Element[amtext, i] Mod[alpha^b, p], p], i, 1, Länge[amtext]]

liefert eine Liste von Elementen, auf die der Algorithmus nach Elgamal angewendet wird. Dabei wird jedes Element mit dem Ausdruck α^b multipliziert. Sowohl auf α^b als auch auf das Produkt wird die Mod[] - Funktion angewendet.

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