Inhaltsverzeichnis

Nullstellen näherungsweise bestimmen

tm.jpg 6, S. 42 - 43, 7, S. 208 - 209

Das Auffinden einer Nullstelle der Funktion tex:f(x) entspricht dem Lösen der Gleichung tex:f(x) = 0. Wir besprechen somit Methoden, um Gleichungen der Form tex:f(x) = 0 näherungsweise zu lösen.

Screenshot: Alfred Nussbaumer

Die Regula Falsi

Ausgehend von zwei Startwerten tex:x_1 „links“ und tex:x_2 „rechts“ von der Nullstelle bestimmen wir den nächsten Näherung tex:x_{neu} mit der folgenden Formel:

tex:x_{neu} = x_1 - f(x_1) \cdot \frac {x_1 - x_2} {f(x_1) - f(x_2)}

Geometrisch entspricht dies dem Schnittpunkt der Strecke zwischen den beiden zu tex:x_1 und tex:x_2 gehörenden Punkten auf dem Funktionsgraph mit der x-Achse.

Aufgaben:

Screenshot: Alfred Nussbaumer

Das newtonsche Näherungsverfahren

Ausgehend von einem Startwert tex:x_1 „in der Nähe“ der Nullstelle bestimmen wir die nächste Näherung tex:x_2 mit der folgenden Formel:

tex:x_2 = x_1 - \frac {f(x_1)} {f'(x_1)}

Geometrische entspricht dies dem Schnittpunkt der Tangente an den Funktionsgraph in dem zu tex:x_1 gehördenen Punkt auf dem Funktionsgraph mit der x-Achse.

Aufgaben:

Zurück zu Gleichungen und Ungleichungen | Bisektionsverfahren | Regula Falsi | newtonsches Näherungsverfahren