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Wir untersuchen die Zahlenfolge z, z², z³, z⁴, … komplexer Zahlen. Der Betrag der komplexen Zahl z, die den Startwert der Folge bildet, ist entweder kleiner 1, gleich 1 oder größer 1.

Im folgenden GeoGebra-Applet werden die Folgenglieder in der Gauss'schen Zahlenebene abhängig vom Folgenindex n in übereinanderliegenden Ebenen dargestellt. Auf diese Weise entsteht ein Schrägriss (Re(z), Im(z), n), in dem sich die Entwicklung der Zahlenfolge „nach oben hin“ gut ablesen lässt.

Wähle mit dem roten Punkt auf dem im Schrägriss dargestellten Mittelpunktskreis den Startwert für z und beobachte das Verhalten der Zahlenfolge!

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• Beschreibe die Bedingungen, unter denen die Zahlenfolge z, z², z³, z⁴, … konvergiert! Wähle dazu verschiedene Beträge für z durch Verschieben des roten Punktes P auf der reellen Zahlenachse!
• Beschreibe die Bedingungen, unter denen die Zahlenfolge z, z², z³, z⁴, … divergiert! Wähle dazu verschiedene Beträge für z durch Verschieben des roten Punktes P auf der reellen Zahlenachse!
• Wie verhalten sich für konvergierende und für divergierende Zahlenfolgen z, z², z³, z⁴, … jeweils die Beträge der Folgenglieder? Begründe!
• Vergleiche mit der üblichen Darstellung der Zahlenfolge z, z², z³, z⁴, … in der Gauss'schen Zahlenebene (z.B. Beispiel 3)!

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