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Flächenberechnung für Figuren der ebenen Geometrie

Flächenberechnung für Figuren der ebenen Geometrie

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Dreieck:

Allgemeines Dreieck: $tex:A = \frac {a \cdot h_a} 2 = \frac {b \cdot h_b} 2 = \frac {c \cdot h_c} 2$

$tex:A = \frac {a b} 2 \sin \gamma = \frac {b c} 2 \sin \alpha = \frac {a c} 2 \sin \beta$

Gleichseitiges Dreieck: $tex:A = \frac {a^2} 4 \cdot \sqrt 3$

Rechtwinkliges Dreieck, Katheten a, b: $tex:A = \frac {a \cdot b} 2$

Vektorielle Flächenformel: $tex:A = \frac 1 2 \sqrt{\vert \vec a \vert ^2 \vert \vec b \vert ^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2}$

Viereck:

Quadrat ,
Rechteck $tex:A = a \cdot b$
Parallelogramm $tex:A = a \cdot h_a$
Trapez $tex:A = \frac {a + c} 2 \cdot h$
Diagonalen e und f stehen aufeinander normal: $tex:A = \frac {e \cdot f} 2$
Allgemeines Viereck $tex:A = \frac {e \cdot f} 2 \cdot \sin \varphi$ , ( $tex:\varphi$ ist der Winkel zwischen den Diagonalen e und f)

Vektorielle Flächenformel $tex:A = \frac 1 2 \sqrt{\vert \vec e \vert ^2 \vert \vec f \vert ^2 - (\vec e \cdot \vec f)^2}$

Regelmäßige Vielecke:

Die regelmäßigen Vielecke werden in einen Kreis mit Radius r eingeschrieben:

Dreieck: $tex:A = r^2 \cdot \frac {3 \sqrt{3}} 4$
Quadrat: $tex:A = r^2 \cdot 2$
Sechseck: $tex:A = r^2 \cdot \frac {3 \sqrt{3}} 2$
Achteck: $tex:A = r^2 \cdot 2 \sqrt {2}$
Zehneck: $tex:A = r^2 \cdot \frac 5 4 \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}$
Zwölfeck: $tex:A = r^2 \cdot 3$

(Hinweis: Rechne nach, dass für das n-Eck $tex:A = r^2 \cdot \frac n 2 \cdot \sin {\frac{360^\circ} n}$ gilt!)

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