(zu 5, S. 97)

Lies die Näherungsmethode in 5, S. 97 nach und gib an, wie der Startwert und die Näherungswerte mit dem Taschenrechner oder mit der Tabellenkalkulation bestimmt werden!

Wähle im folgenden GeoGebra-Beispiel die quadratische Gleichung mit Hilfe der Schieberegler für p und q und zeige die ersten Näherungswerte x₁, x₂, x₃ an:

Download der GeoGebra-Datei

• Der „Startwert“ wird durch x₁ = 1 - p / 2 festgelegt. Der rote Punkt A legt die Zahl 1 im GeoGebra-Beispiel fest. Untersuche, wie sich andere Startwerte auf die Näherungslösungen auswirken, wenn du den roten Punkt A verschiebst!
• Gib an, was „passiert“, wenn der Startwert x₁ = -p / 2 wird! Wo liegt dann der rote Punkt A?
• Gib ein Verfahren an, mit dem du beide Lösungen der quadratischen Gleichung sicher bestimmen kannst!
• „Verschiebe“ den Funktionsgraphen, indem du die Schieberegler für p und q verwendest!
• Untersuche das Verhalten des Näherungsverfahrens, wenn die quadratische Gleichung keine Lösung hat!

Für Unentwegte:

• Beobachte die Näherungslösungen und die Geraden und lies das Konstruktionsprinzip ab!
• Für p = -4 und q = 4 liegt eine Doppellösung vor. Die Näherungslösung x₃ liegt relativ weit von der exakten Lösung x = 2 entfernt. Öffne die Tabelle und ergänze weitere Iterationen! Mache diese weiteren Iterationen auch grafisch sichtbar …
• Suche mit den Schiebereglern für p und q weitere Gleichungen mit einer Doppellösung und vergleiche die Näherung von x₃ an die exakte Lösung. Beschreibe (und begründe) die Ergebnisse!

Ausblick: Vergleiche mit dem newtonschen Näherungsverfahren ( 7)!

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