Mathematische Grundtätigkeiten

Darstellend-interpretierendes Arbeiten umfasst alle Aktivitäten, die mit dem Übersetzungsprozess
von Situationen, Zuständen und Prozessen aus der Alltagssprache in die Sprache der Mathematik
und auch wieder zurück im weitesten Sinne zu tun haben.

Dieser Tätigkeitsbereich umfasst aber auch alle Aktivitäten, die mit der Übersetzung einer Darstellung
in eine andere innerhalb der Mathematik zu tun haben.

Der Einsatz mathematischer Arbeitsumgebungen (MAU) - als Überbegriff für die verschiedensten Computeralgebra-Systeme (CAS), dynamischen Geometriesoftware-Produkte (DGS) sowie Tabellenkalkulationen (TK) und weiterer Spezialprogramme verwendet - liegt hier primär in ihrer Rolle als Visualisierungswerkzeuge.

„Während Visualisierung ohne Technologie oft aufwendig ist und auch mit erheblichen Rechenaufwand verbunden ist, unterstützt der leichtere Zugang zu graphischen Darstellungen das mathematische Verständnis und erleichtert auch die Interpretation praktischer Ergebnisse“. (H.Heugl) In der einschlägigen Literatur werden eine Reihe weiterer Einsatzformen angegeben, die hier einzuordnen sind, wie z.B. CAS als Graphikwerkzeug, als geometrisches Werkzeug, als Funktionenlupe, als Modellierwerkzeug, als Maschine zum Ausführen von Simulationen.

Formal-operatives Arbeiten umfasst alle kalkülmäßigen und algorithmischen Aktivitäten, die im
Mathematikunterricht vermittelt werden (sollen).

Dieser Tätigkeitsbereich umfasst alle Aktivitäten, die mit der Anwendung von Verfahren,
Rechenmethoden, Techniken u.s.f. zu tun haben.

Der Einsatz der mathematischen Arbeitsumgebung liegt hier primär in ihrer Rolle als Rechenwerkzeuge. In der Möglichkeit, formal-operatives Arbeiten zu erleichtern, besteht nach Meinung vieler Mathematiker die große Stärke von CAS. B.Buchberger schreibt dazu etwa: „Zusammenfassend und etwas plakativ kann man sagen, dass die heutigen universellen mathematischen Softwaresysteme mit symbolischen Kern für alle Probleme, die in der Gymnasialmathematik und in den mathematischen Einführungsvorlesungen an den Universitäten behandelt werden, Algorithmen anbieten. Darüber hinaus gibt es aber spezielle symbolische Softwaresysteme, deren algorithmische Problemlösungen weit über die Mathematik der Einführungsvorlesungen hinausgehen.“

Der Einsatz des Rechenwerkzeuges kann viele Aspekte aufweisen, einige wichtige sind: Mathematische Arbeitsumgebung als Hilfsmittel zum Ausführen von Kalkülen, etwa als arithmetisches Hilfsmittel, als numerisches Werkzeug oder als Hilfsmittel zum Ausführen symbolischer Operationen Der große Fortschritt eines CAS zeigt sich ja gerade dadurch, dass auch mit Symbolen algebraische Umformungen möglich werden. Dies ist Grundvoraussetzung für das allgemeine Lösen von Gleichungen, das Bestimmen von Ableitungen und unbestimmten Integralen oder das Lösen von Differentialgleichungen.

Nicht vergessen werden soll hier auch der Einsatz als Werkzeug zum Bearbeiten logischer Kalküle, als algorithmisches Werkzeug oder als Programmiersprache.

Heuristisch-experimentelles Arbeiten umfasst alle Aktivitäten, die mit zielgerichtetem Entdecken,
mit Variation von Parametern und dem Aufstellen von Vermutungen zu tun haben.

Auch das Ausführen von Simulationen, das Untersuchen von Grenz- und Spezialfällen sowie das
Übergehen zu Verallgemeinerungen zählen zum heuristisch-experimentellen Arbeiten.

Viele der angeführten Aktivitäten lassen sich durch eine MAU gut unterstützen. Der Einsatz liegt hier vor allem in seiner Rolle als Untersuchungswerkzeug „Das Gerät wird als Umgebung für Untersuchungen und Forschungen eingesetzt. Neue Umstände und Veränderungen werden berücksichtigt. Auch unerwartete Ergebnisse treten auf, Vermutungen werden angestellt und möglicherweise wieder verworfen. In dieser Rolle ermöglicht die Technologie das „Spielen“ mit Problemen, da die Rechenarbeit rasch und fehlerfrei erfolgt.“(HEUGL, 1999, S.4) Derartige Einsatzformen werden auch oft unter den Titeln „CAS als Experimentierumgebung“ oder „CAS als Entdecker“ näher beschrieben.

Durch die Unterstützung individueller Lernwege und die individuelle Rückmeldungsmöglichkeit, durch freie Wahl von Parametern, den einfacheren Vergleich verschiedener Lösungswege, durch unterschiedliche Visualisierungen eignen sich MAU besonders gut zur Unterstützung beim heuristisch-experimentellen Arbeiten.

Kritisch-argumentatives Arbeiten umfasst alle Aktivitäten, die mit Argumentieren, mit Begründen
und Beweisen zu tun haben.

Auch das kritische Überprüfen von Eigenschaften, von Vermutungen sowie das Vornehmen von
Fallunterscheidungen zählen zum kritisch-argumentativen Arbeiten.

Naturgemäß sind die Unterstützungsmöglichkeiten durch mathematische Arbeitsumgebungen in diesem Tätigkeitsbereich weitaus geringer als in den beiden zuvor behandelten. Aber es gibt vielleicht so etwas wie einen indirekten Zusammenhang: gerade durch die veränderte Behandlung der anderen Aktivitäten (bessere Darstellungsmöglichkeiten, rascherer Wechsel von Darstellungsformen, bewußte Auslagerung bzw. Unterstützung operativer Tätigkeiten durch Module) kann eine Betonung des kritisch- argumentativen Arbeitens erreicht werden.

Der Einsatz von CAS zielt hier insbesondere auf die Möglichkeiten, die in der Verwendung als Überprüfungswerkzeug liegen. Ergebnisse, die traditionell entstanden sind, können nun rascher auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Dazu kommt noch, dass Ergebnisse überprüft werden müssen, die durch die Technologie ermittelt wurden und die wegen der Vielfalt der Darstellungsweise nicht immer sofort mit den erwarteten Ergebnissen übereinstimmen. Speziell die Programme der dynamischen Geometrie eröffnen eine Reihe von Möglichkeiten, direkt in und mit einer MAU Argumentationen schrittweise zu führen.

Bei einer Reihe derartiger Tätigkeiten können CAS durchaus wertvolle Dienste leisten. Sie können bei Argumentationen unterstützende Dienste leisten.

Es gibt aber auch einen tieferliegenderen Zusammenhang zwischen Technologie-Einsatz im Mathematikunterricht und dem kritisch-argumentativen Arbeiten. In dem Maße, in dem das Durchführen von Verfahren an die Technologie delegiert werden kann, gewinnen andere grundlegende mathematische Fähigkeiten an Bedeutung und dazu gehört neben dem Darstellen, neben dem bewußten Einsatz heuristischer Techniken eben Argumentieren. Fähigkeiten, die Maschinen nicht oder nur in eingeschränktem Maße zugesprochen werden, können so stärker ins Blickfeld des MU treten und im Unterricht intensiver entwickelt werden.