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Maxima: plot3d (Lernpfad)
(zu Themenheft Mathematik mit GeoGebra)
In diesem Lernpfad lernst du, Funktionen dreidimensional mit Hilfe des Computer-Algebra-Systems Maxima grafisch darzustellen. Darüber hinaus erlaubt dir dieses Werkzeug eine Reihe eigener Entdeckungen!
Funktionen in zwei Variablen
Der Graph einer Funktion in zwei Variablen ist im Allgemeinen eine Fläche im Raum: . Für die folgenden Darstellungen mit Maxima sind neben dem Funktionsterm zumindest die Intervalle für die Variablen x und y anzugeben.
Beispiel: f(x,y) = x^2
Aufgaben:
Untersuche die Funktionsgraphen und erläutere, wie die Fläche von den Variablen abhängt / abhängen könnte!
Hinweis: Wähle geeignete Intervalle für die Variablen x und y!
Kurven und Flächen im Raum (Parameterdarstellung)
Geraden
Helix (Schraubenlinie)
Ebenen
Aufgaben:
- Lies im Artikel Kurven und Flächen im Raum nach!
Ausgabe
Verwende für die Darstellung und Ausgabe einer Grafik (mit gnuplot) verschiedene Parameter:
'grid
Legt die Anzahl der Gitterpunkte für die Variablen fest, z.B.:
plot3d([cos(u),sin(u),v],[u,0,4*%pi],[v,-5,5], ['grid,60,10]);
Hinweis: Der Vorgabewert für 'grid ist ['grid, 30, 30]
In diesem Fall werden die „Kreise“ aufgrund der 60 Gitterpunkte sehr glatt dargestellt, während in der Richtung des Parameters v (z-Koordinate) nur 10 Gitterpunkte berücksichtigt werden.
gnuplot_pm3d
Lädt erweiterte GNUPLOT-Grafikfunktionen, zB. die Darstellung von Konturen oder farbigen Flächen.
plot3d([cos(u)*(1/v),sin(u)*(1/v),-v],[u,0,2*%pi],[v,0.5,5], [gnuplot_pm3d,true]);
gnuplot_preamble
Legt Grafikoptionen für die Ausgabe (mit gnuplot) fest, z.B.:
plot3d([cos(u),sin(u),v],[u,0,4*%pi],[v,-5,5], ['grid,60,10], [gnuplot_preamble, "set terminal png; set out 'public_html/thema-mathematik/images/zylinderflaeche_04'"]);
Legt als Ausgabedatei eine Grafikdatei im PNG-Format, im angegebenen Pfad fest. Die Ausgabe von farbigen Grafiken wie im obigen Beispiel ist dabei nicht möglich.
Polardarstellung
Die Darstellung von Rotationsflächen ist mit Hilfe der Polardarstellung recht einfach.
Beispiel: Rotation einer linearen Funktion
Beachte: Die lineare Funktion -r wird im Intervall [2,5] dargestellt. Eine Strecke rotiert und erzeugt den Mantel eines Kegelstumpfes.
Die Rotationsfläche wird im Intervall [-%pi/5, 3*%pi/2] dargestellt. Die Rotationsfläche wird nicht in einer vollen Umdrehung dargestellt, sondern erscheint „aufgeschnitten“
plot3d(-r,[r,2,5],[th,-%pi/5,3*%pi/2], ['transform_xy,polar_to_xy], [gnuplot_pm3d,true]);
Beispiel: Rotation der Sinuskurve
Beachte: Die Sinuskurve sin® wird im Intervall [%pi/2; 3*%pi/2] dargestellt. Dieses Stück der Sinuskurve rotiert und erzeugt die Rotationsfläche.
Die Rotationsfläche wird im Intervall [-%pi/5, 3*%pi/2] dargestellt. Die Rotationsfläche wird nicht in einer vollen Umdrehung dargestellt, sondern erscheint „aufgeschnitten“
plot3d(sin(r),[r,%pi/2,3*%pi/2],[th,-%pi/5,3*%pi/2], ['transform_xy,polar_to_xy], [gnuplot_pm3d,true]);
Weitere Beispiele:
Rotation um x-Achse
Kugel
Beachte: Zuerst das Paket „draw“ laden!
load(draw);
Dann Funktion definieren, deren Graph um die x-Achse rotiert:
(%i37) f(x):=sqrt(9-x^2);
Mantelfläche (nach gnuplot) ausgeben:
(%i40) draw3d(surface_hide=true,enhanced3d=true,parametric_surface(x,-f(x)*sin(t),f(x)*cos(t),t,0,2*%pi,x,-3,3)); (%o40) [gr3d(parametric_surface)]
Anmerkung: Die Skalierung in Richtung der x-Achse kann durch die Angabe eines weiteren Darstellungsintervalls, z.B. x,-6,-6
beeinflusst werden.
Rotationskörper durch Zylinderscheiben annähern:
(%i12) draw3d(surface_hide=true,enhanced3d=true,parametric_surface(x,-f(1)*sin(t),f(1)*cos(t),t,0,2*%pi,x,1,1.5), parametric_surface(x,-f(1.5)*sin(t),f(1.5)*cos(t),t,0,2*%pi,x,1.5,2), parametric_surface(x,-f(2)*sin(t),f(2)*cos(t),t,0,2*%pi,x,2,2.5), parametric_surface(x,-f(2.5)*sin(t),f(2.5)*cos(t),t,0,2*%pi,x,2.5,3), parametric_surface(x,-f(3)*sin(t),f(3)*cos(t),t,0,2*%pi,x,3,3.5),color=black,line_width=3,enhanced3d=false,parametric(x,0,f(x),x,0,2*%pi));
Weblinks
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