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Die Grundrechnungsarten
5 S. 10
Die Grundrechnungsarten ermöglichen tiefe Einblicke in die Eigenschaften von ganzen Zahlen. Wir besprechen hier die fortgesetzte Addition der gleichen Zahl (Multiplikation) und die fortgesetzte Subtraktion der gleichen Zahl (Division). Eine besondere Rolle spielen dabei die Reste, die bei der Division ganzer Zahlen durch einen ganzzahligen Divisor entstehen.
Division mit Rest
Hinweis: Wir beziehen uns auf die Division mit natürlichen Zahlen (positive ganze Zahlen und de Zahl 0).
z.B.: 14 : 5 = 5 · 2 + 4
Dabei ist 12 der Dividend, 5 der Divisor, 2 der Quotient und 4 der Rest.
Allgemein: n : m = m · q + r
Dabei ist n der Dividend, m der Divisor, q der Quotient und r der Rest.
Der Rest ist uns wichtig: Welche Zahlen liefern bei der Division durch 5 den gleichen Rest? Wir gehen alle möglichen Reste durch…
Zahlen, die bei der Division durch 5 den Rest 0 liefern: 0, 5, 10, 15, 20, …
Zahlen, die bei der Division durch 5 den Rest 1 liefern: 1, 6, 11, 16, 21, …
Zahlen, die bei der Division durch 5 den Rest 2 liefern: 2, 7, 12, 17, 22, …
Zahlen, die bei der Division durch 5 den Rest 3 liefern: 3, 8, 13, 18, 23, …
Zahlen, die bei der Division durch 5 den Rest 4 liefern: 4, 9, 14, 19, 24, …
Damit haben wir alle (natürlichen) Zahlen erfasst - wir erhalten 5 Restklassen.
Restklassen …
Die natürlichen Zahlen bilden bei der ganzzahligen Division durch m genau m Restklassen. Dies sind die Zahlen, die bei der Division durch m die Reste
0
1
2
…
m-1
lieferrn.
Wir erkennen:
Jede natürliche Zahl liegt in genau einer Restklasse.
Jede Restklasse hat unendlich viele Zahlen.
Zahlen in der gleichen Restklasse haben eine gemeinsame Eigenschaft, nämlich, dass sie bei der Division durch die Zahl m den gleichen Rest ergeben.
Der Modulo-Operator
Modulo …
Der Modulo-Operator liefert den Rest r bei der Division einer Zahl n durch m.
Beispiele:
14 mod 5 = 4, da 14 : 5 = 5 · 2 + 4
23 mod 7 = 2, da 23 : 7 = 7 · 2 + 2
100 mod 11 = 1, da 100 : 11 = 11 · 9 + 1
…
Kongruenz
Kongruenz …
Zwei Zahlen a und b heißen kongruent bezüglich des Moduls m, wenn sie bei der Division durch m den gleichen Rest liefern.
Wir schreiben a ≡ b mod m
oder a ≡ b (mod m)
Kongruente Zahlen liegen also in der gleichen Restklasse von m.
Beispiele:
17 ≡ 2 (mod 5)
100 ≡ 1 (mod 99)
60 ≡ 8 (mod 13)
…
Weblinks:
- Zahlen und Zählen ((Mathematik zum Anfassen, BR α) - MediaPlayer erforderlich
- Weshalb können wir so einfach rechnen? ((Mathematik zum Anfassen, BR α) - MediaPlayer erforderlich
- Rechnen mit dem Dezimalsystem ((Mathematik zum Anfassen, BR α) - MediaPlayer erforderlich
