Volumen eines Körpers mit quadratischen Querschnittsflächen
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Das Viereck A,B,E,F in der xy-Ebene legt einen Körper folgendermaßen fest: Alle Querschnittsflächen stehen normal zur x-Achse; sie sind jeweils Quadrate, deren Seitenlängen durch die Begrenzung durch die Kanten AE und BF des Vierecks A,B,E,F gegeben sind. Beschreibe die Form dieses Körpers und berechne seinen Rauminhalt!
Im folgenden GeoGebra-Beispiel ist dieser Körper im Schrägriss dargestellt: Alle Querschnittsflächen sind parallel zur yz-Ebene und erscheinen daher unverzerrt als Quadrate - eine solche Querschnittsfläche kann mit dem Kontrollkästchen angezeigt werden. Wähle mit den Punkten A, B, E und F einen Körper und rechne seinen Rauminhalt nach …
Aufgaben:
- Zeige die Querschnittsfläche Q an, verschiebe den Punkt P entlang der Kante BF, lies den Inhalt der Querschnittsfläche ab und interpretiere die wechselnden Werte!
- Tipp: Stelle ein quadratisches Prisma dar und rechne den Rauminhalt „im Kopf“ nach!
- Der Volumsberechnung im obigen GeoGebra-Applet liegt folgendes bestimmtes Integral zugrunde: Bezeichnet l(x) die Seitenlänge des Querschnittsquadrats, so liefert ein schmaler Abschnitt des Körpers das Volumen
. Das Volumen des Körpers ist demnach das bestimmte Integral
(h ist die x-Koordinate des Punktes A, die Körperhöhe. Stelle zwei Geradengleichungen für die Kanten AE und BF auf, bestimme l(x), löse das Integral! Stelle den gewählten Körper (näherungsweise) mit dem obigen GeoGebra-Applet dar und vergleiche die Ergebnisse für den Rauminhalt!
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