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Die vektorielle Flächenformel

5, S. 198 - 199

Zeige die Gültigkeit der vektoriellen Flächenformel $tex:A = \sqrt{\vert \vec a \vert ^2 \cdot \vert \vec b \vert ^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2}$ !

Beweis:

Berechne dazu den Flächeninhalt eines Parallelogramms, das durch zwei (beliebige) Vektoren $tex:\vec a = \vec {AB}$ und $tex:\vec b = \vec {AD}$ erzeugt wird!

1. Schritt: $tex:A = a \cdot b \cdot \sin (\alpha)$ . Rechne nach!

Lösung:

2. Schritt: $tex:A = \sqrt{\vert \vec a \vert ^ 2 \cdot \vert \vec b \vert ^ 2 - (\vec a \cdot \vec b)^2}$ . Rechne nach!

Lösung:

Aufgaben:

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das durch die Punkte A(0|0), B(5|0) und D(2|4) festgelegt ist, mit der vektoriellen Flächenformel und kontrolliere mit Hilfe von GeoGebra!
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Punkte A(0|0), B(5|0) und C(2|4) festgelegt ist!
Ausblick: Untersuche, wie der Flächeninhalt des Parallelogramms mit dem vektoriellen Produkt zusammenhängt!

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