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Themen für Unterrichtsprojekte oder individuelle Forschungsreisen ;-)

(zu tm.jpg 6)

Kompliziertere Gleichungen lösen

(zu Thema Mathematik 6 - Potenzen, Wurzeln, Logarithmen)

Beispiel: Löse die Gleichung!

Nicht jede Gleichung kann mit einem Computer-Algebra-System einfach gelöst werden. Versuche einmal, die Lösung der folgenden Gleichung mit dem CAS zu bestimmen, das dir zur Verfügung steht:

tex:\frac {\sqrt{10 + x}} {12 + \sqrt{10 + x}} + \frac {12 + \sqrt{10+x}} {\sqrt{10 + x}} = \frac {17} 4

Vermutlich misslingt auch der Versuch, diese Wurzelgleichung „von Hand aus“ durch wiederholtes Freistellen eines Wurzelausdrucks und anschließendem Quadrieren zu lösen. Wir versuchen es hier mit einem *Rechentrick* …

Es fällt doch auf, dass auf der linken Seite ein Bruch und sein Kehrwert addiert werden. Daher schreiben wir die Gleichung in der Form

tex:n + \frac 1 n = \frac {17} 4

an. Diese Gleichung führt auf eine quadratische Gleichung in tex:n, und wir erhalten tex:n_1 = \frac 1 4 und tex:n_2 = 4. Seltsam, diese beiden Lösungen sind auch Kehrwerte!

Da der Ausdruck tex:10 + \sqrt{10+x} sicher größer ist als tex:\sqrt{10+x}, verstehen wir die Struktur der linken Seite der Gleichung. Sie muss lauten

tex:\frac 1 4 + 4 = \frac {17} 4

Daher gilt: tex:\frac {12 + \sqrt{10+x}} {\sqrt{10 + x}} = 4

Diese Wurzelgleichung können wir leicht lösen, wenn wir tex:\sqrt{10+x} = u substituieren: tex:\frac {12 + u} u = 4. Wir multiplizieren mit tex:u und erhalten tex:12 + u = 4u und daher tex:u = 4.

Im letzten Schritt berechnen wir nun die Unbekannte tex:x: tex:\sqrt{10 + x} = 4.

Durch Quadrieren erhalten wir tex:10 + x = 16 und deshalb tex:x = 6. Fertig!

Anmerkung: Computer-Algebra-Systeme können Gleichungen wie die obige nur unzureichend lösen. Wenn du die Gleichungsstruktur durch eigene Überlegungen beispielsweise durch Substitution berücksichtigst, steigen die Chancen stark an, dass das CAS die Lösung bestimmt!

Kompliziertere Gleichungen aufstellen

Du wirst dich fragen, ob es mehr Gleichungen von der Art gibt, wie sie im letzten Beispiel behandelt wurden. Vielleicht willst du sogar selbst solche Gleichungen aufschreiben!

Gehe dazu „den Weg rückwärts“ …

  1. Wähle z.B. die Zahl tex:n = 3 und bilde den Ausdruck tex:n + \frac 1 n = 3 + \frac 1 3 = \frac {10} 3
  2. Bilde wie in der vorangegangenen Aufgabe einen Ausdruck, bei dem der Zähler sicher größer ist als der Nenner. Dies gelingt, wenn du mit positiven Ausdrücken hantierst - also beispielsweise tex:\frac{10 + u} u = 3, wobei tex:u = \sqrt{1 + x} substituiert wurde.
  3. Berechne tex:u: tex:10 + u = 3u \Rightarrow 10 = 2u \Rightarrow u = 5
  4. Da tex:\sqrt{1 + x} = 5, also tex:x = 24 erfüllt ist, hast du eine ganzzahlige Lösung zur Gleichung tex:\frac {\sqrt{1 + x}} {10 + \sqrt{1 + x}} + \frac {10 + \sqrt{1+x}} {\sqrt{1 + x}} = \frac {10} 3 gefunden.

Anmerkung: Du kannst verschiedene Ausgangszahlen für tex:n, passende positive Zähler und Nenner, sowie verschiedene (positive) Ausdrücke für tex:u wählen. Auf diese Weise erhältst du viele Gleichungen von der oben angeführten Gestalt …