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Siehe auch Lernpfad "Parametrisierte Kurven" | Lernpfad "Flächen in Parameterdarstellung"

Siehe auch Kurven und Flächen im Raum - Wiederholung (Hot Potatoes - Mehrfachauswahl)

Neben der Ebene (Dreiecksfläche), Kegel- und Zylindermantel stellt die Kugel eine weitere Fläche im Raum dar, die mit vergleichsweise einfachen mathematischen Mitteln beschrieben werden kann. In der analytischen Geometrie verwenden wir dazu die Kugelgleichung.

Zum Artikel zur Kugel

Die gute Darstellung von Raumkurven und Flächen ist eine interessante Herausforderung! Es ist günstig, wenn du die Aufgaben auf deinem Computer ausführen kannst - maxima und Gnu-Plot stehem dir dazu kostenlos zum Download zur Verfügung.

Tipp: Kopiere die komplizierten Ausdrücke direkt von der Webseite in die maxima-Eingabe!

Arbeitsblatt: Schnittpunkte dreier Kugeln

Bereits in der 6. Klasse hast du Geraden im Raum und Ebenen in Parameterdarstellen kennen gelernt:

Die Gerade g: X(t) = (0|0|0) + t (1|2|-1) verläuft durch den Koordinatenursprung und hat den Richtungsvektore (1|2|-1):

x(t) = t
y(t) = 2t
z(t) = -t

plot3d([t,2*t,-t],[t,-4,4],[u,-4,4],['grid,20,20]);

Überprüfe die korrekte Darstellung dieser Geraden im folgenden maxima-Output:

Die Ebene wird durch einen Anfangspunkt (Einstiegspunkt) und mit zwei Richtungsvektoren mit je einem Parameter beschrieben:

Ebene: X(t) = (1|0|1) + t (1|-1|0) + u (1|2|1)

x(u,v) = 1 + u +  v
y(u,v) =   - u + 2v
z(u,v) = 1     +  v

plot3d([1+u+v, -u+2*v, 1 + v],[u,-4,4],[v,-4,4]);

Analog zur Parameterdarstellung in der Ebene stellen wir Kurven im Raum dar; dabei verwenden wir zusätzlich eine Beschreibung der z-Koordinate:

x(t) = cos(t)
y(t) = sin(t)
z(t) = 2

plot3d([cos(t), sin(t), 2],[t,0,2*%pi],[u,0,2*%pi],['grid,100,2]);

Beachte den Unterschied zur Kreislinie: Die z-Koordinate wächst mit dem Parameter t und verschiebt die Punkte der Kreislinie nach oben …

x(t) = cos(t)
y(t) = sin(t)
z(t) = t

plot3d([cos(t), sin(t), -12 + t],[t,0,8*%pi],[u,0,2*%pi],['grid,100,2]);

Untersuche an Hand der GeoGebra-Animation, wie die Helix entsteht!

Beachte den Unterschied zur Helix: Der Radius fällt mit der monoton fallenden linearen Funktion (4 - t/8)…

x(t) = cos(t) * (4 - t/8)
y(t) = sin(t) * (4 - t/8)
z(t) = t

plot3d([cos(t)*(4-t/8), sin(t)*(4-t/8),t],[t,0,8*%pi],[u,0,1],['grid,100,2]);

Die Flächen werden durch zwei Parameter, z.B. durch die Parameter u und v beschrieben. Beachte genau die Zuordnung zu den drei Raumkoordinaten!

x(u,v) = cos(u)
y(u,v) = sin(u)
z(u,v) = v

plot3d([cos(u),sin(u),v],[u,0,2*%pi],[v,-2,2]);

Beachte genau die Intervalle, für die die Paramter u und v definiert sind!

Untersuche, wie die Zylinderfläche in der GeoGebra - Animation zustande kommt!

Beachte den Unterschied zur Zylinderfläche: Der Radius nimmt mit (1 - v/6) ab (lineare Funktion)…

x(u,v) = cos(u)*(1 - v/6)
y(u,v) = sin(u)*(1 - v/6)
z(u,v) = v

plot3d([cos(u)*(1-v/6), sin(u)*(1-v/6), v],[u,0,2*%pi],[v,1,6]);

Beachte den Unterschied zur Zylinderfläche: Der Radius nimmt mit sqrt(36 - v^2) ab (Quadratwurzelfunktion)…

x(u,v) = cos(u)*sqrt(36 - v^2)
y(u,v) = sin(u)*sqrt(36 - v^2)
z(u,v) = v

plot3d([cos(u)*sqrt(36 - v^2), sin(u)*sqrt(36 - v^2), v],[u,0,2*%pi],[v,0,6]);

Die „Einheitskugel“ kannst du mit folgender Parametrisierung darstellen:

x(u,v) = cos(u) * cos(v)
y(u,v) = sin(u) * cos(v)
z(u,v) = sin(v)

plot3d([cos(u) * cos(v), sin(u) * cos(v),  sin(v)], [u, 0, 2*%pi], [v, 0, 2*%pi]);

Beachte den Unterschied zur Zylinderfläche: Der Radius nimmt mit 1/v ab (Hyperbel)…

x(u,v) = cos(u) / v
y(u,v) = sin(u) / v
z(u,v) = v

plot3d([cos(u)/v, sin(u)/v, v],[u,0,2*%pi],[v,1,6]);

Erinnere dich:

x(u,v) = cos(u)*6
y(u,v) = sin(u)*6
z(u,v) = 2

Damit erhalten wir einen Kreis mit Mittelpunkt M(0|0|2), Radius r = 6, der in der horizontalen Ebene z = 2 liegt.

Mit

x(u,v) = cos(u)*(6 + 2*cos(v))
y(u,v) = sin(u)*(6 + 2*cos(v))
z(u,v) = 2 + 2*sin(v)

erhalten wir eine Fläche, die durch einen um die obige Kreislinie „rotierenden“ Kreis mit Radius r = 2 entsteht. Sein Mittelpunkt liegt auf der ursprünglich festgelegten horizontalen Kreislinie mit Radius r = 6 …

plot3d([cos(u)*(6 + 2*cos(v)), sin(u)*(6 + 2*cos(v)), 2 + 2*sin(v)], 
[u,0,2*%pi], [v,0,2*%pi], ['grid, 50,50]);

Zum Artikel Die Wendelfläche (GeoGebra-Animation)