Unterschiede
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tech:ggb:folgen_und_reihen [2013/07/12 17:36] (aktuell) |
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+ | ====== Folgen und Reihen ====== | ||
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+ | **Ex:** Ulam-Folge\\ | ||
+ | a) Berechne für Startwerte $1\leq n \leq 20$ mit Hilfe der Tabellenkalkulation die Glieder der Ulam-Folge (bis Folgenglied 1 auftritt)\\ | ||
+ | b) Stellle die Folgenglieder im $n-a_n-$Diagramm dar! | ||
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+ | Hinweis: Beachte, dass der Vergleichsoperator in der Form ''=='' eingegeben werden muss (''Wenn[Mod[B1, 2] ≟ 0, B1 / 2, 3B1 + 1]'') | ||
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+ | ++++ Ausführung:| | ||
+ | {{:tech:folgen_und_reihen-ulam.png|}} | ||
+ | ++++ | ||
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+ | \\ | ||
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+ | **Ex:** a) Berechne die ersten 30 Glieder der Folge `a(n)=3/(3+n)` \\ | ||
+ | b) Gib eine graphische Darstellung der Folgenverlaufes an. (Verwende dazu den Befehl ''Folge[(i, a(i)), i, 1, k]'')\\ | ||
+ | c) Berechne den Grenzwert der Folge `a(n)=3/(3+n)` \\ | ||
+ | d) Veranschauliche die `\epsilon`-Umgebung für einige kleine Epsilons. | ||
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+ | ++++ Ausführung| | ||
+ | {{:tech:folgen_und_reihen-folgegrenzwert1.png|}} | ||
+ | ++++ | ||
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+ | \\ | ||
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+ | **Ex:** Iterationen\\ | ||
+ | In einem See gibt es derzeit etwa 6000 Fische. Die maximal mögliche Fischmenge im See wird auf $G=8000$ geschätzt. Die Fischpopulation vermehre sich (im Wesentlichen nur) proportional zum aktuellen Freiraum mit einem Proportionalitätsfaktor von 6\%. | ||
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+ | a) Entwickle ein mathematisches Modell zur Beschreibung des Fischbestandes im See in Form einer Differenzengleichung und führe mit einer Tabellenkalkulation eine Simulation durch. | ||
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+ | b) Wie entwickelt sich der Fischbestand bei konstanter Fangrate, dh. wenn vereinbart wird, $10\%$ des Anfangsbestandes zu fangen? | ||
+ | Stelle wieder eine Differenzengleichung auf und führe mit einer Tabellenkalkulation eine Simulation durch. | ||
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+ | c) Wie entwickelt sich der Fischbestand bei variabler Fangrate, dh. wenn vereinbart wird, $10\%$ des jeweils aktuellen Bestandes zu fangen? Stelle wieder eine Differenzengleichung auf und führe mit einer Tabellenkalkulation eine Simulation durch. | ||
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+ | d) Zeige, dass alle drei Differenzengleichungen vom Typ $y_{n+1} = a\cdot y_n + b $ sind. | ||
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+ | ++++ Ausführung a-c)| | ||
+ | $y_{n+1}=y_n+0.1 \cdot (8000-y_n) $ mit $y_0 = 6000$ | ||
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+ | zu b) Differenzengleichung zur Entwicklung der Fischpopulation: | ||
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+ | $y_{n+1}=y_n+0.1 \cdot (8000-y_n) - r\cdot y_0$ mit $y_0 = 6000$ | ||
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+ | zu c) Differenzengleichung zur Entwicklung der Fischpopulation: | ||
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+ | $y_{n+1}=y_n+0.1 \cdot (8000-y_n) - r\cdot y_n$ mit $y_0 = 6000$\\ | ||
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+ | {{:tech:folgen_und_reihen-iterationfische.png|}} | ||
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+ | ++++ | ||
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+ | ++++ Ausführung d)| | ||
+ | Differenzengleichung a) $y_{n+1}=y_n+k\cdot(G-y_n)=\underbrace{(1-k)}_{a_1}\cdot y_n + \underbrace{k\cdot G}_{b_1} $ | ||
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+ | Differenzengleichung b) $y_{n+1}=y_n+k\cdot(G-y_n)-r\cdot y_0=\underbrace{(1-k)}_{a_2}\cdot y_n + \underbrace{k\cdot G -r\cdot y_0}_{b_2} $ | ||
+ | |||
+ | Differenzengleichung c) $y_{n+1}=y_n+k\cdot(G-y_n)-r\cdot y_n=\underbrace{(1-k-r)}_{a_3}\cdot y_n + \underbrace{k\cdot G}_{b_3} $ | ||
+ | |||
+ | Es liegt also in allen drei Fällen ein begrenztes Wachstum vor. Im ersten Fall strebt dieses offensichtlich dem Wert $G=8000$ zu (davon geht man ja bei der Modellbildung aus). | ||
+ | Das Langzeitverhalten lässt auch sich mit folgender Überlegung ermitteln. Nehmen wir an, $\bar{y}$ sei jener Bestand, der sich langfristig einstellt, dann gilt: | ||
+ | |||
+ | für den Fall a) $\bar{y} = \bar{y}+k \cdot (G-\bar{y}) \Rightarrow \bar{y} = \frac{k\cdot G}{k} = G = 8000$\\ | ||
+ | für den Fall b) $\bar{y} = \bar{y}+k \cdot (G-\bar{y}) - r\cdot y_0 = (1-k)\cdot \bar{y} - k\cdot G - r\cdot y_0 | ||
+ | \Rightarrow \bar{y} = \frac{k\cdot G -r \cdot y_0}{k} = G - \frac{r}{k}\cdot y_0= -2000$\\ | ||
+ | für den Fall c) $\bar{y} = \bar{y}+k \cdot (G-\bar{y}) -r \cdot \bar{y} = (1-k-r)\cdot \bar{y} + k\cdot G | ||
+ | \Rightarrow \bar{y} = \frac{k\cdot G}{k+r} = 3000$ | ||
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