Gleichungen

Hinweise:

• Wir lösen die Gleichung schrittweise um die entsprechenden Äquivalenzumformungen zu sehen.
  Dabei ist es günstig, jeweils zwischen Behalte Eingabe ✔ und valuiere = zu wechseln.
• Du kannst die jeweils letzte Ausgabe einfach übernehmen in dem du dich in eine neue Zeile stellst und auf das Leerzeichen tippst. Willst du die letzte Ausgabe gleich in Klammern haben so gib' einfach eine schließende Klammer “)“ ein. (Siehe auch CAS-Handling.)

Hinweis: Markiere die linke Seite der Gleichung und wende den Befehl Faktorisiere an!

Damit kannst du die beiden Lösungen $x_{1,2}=\frac{2}{3}$ ablesen.

Hinweise:

• Mit Hilfe der Befehle LinkeSeite[$1] bzw.RechteSeite[$1] kannst du auf die linke und rechte Seite der Gleichung in Zeile 1 zugreifen
• Markiere in Zeile 3 die linke Seite der Gleichung und wende den Befehl Faktorisiere an!

Damit kannst du die beiden Lösungen $x_1=0$ und $x_2=-36$ ablesen.

Hinweis: mit dem Befehl VollständigesQuadrat[(quadratischer) Term] in die gewünschte Form umgewandelt werden.

Damit kannst du weiterrechnen:

$x-\frac{1}{3}=\pm \sqrt{\frac{7}{9}}$

$x=\frac{1}{3}\pm \frac{\sqrt{7}}{3}$

$x_1=\frac{1-\sqrt{7}}{3}$,$x_2=\frac{1+\sqrt{7}}{3}$,

Hinweise:

• Markiere die beiden Zeilen #2 und #3 und wende den Befehl Löse = an.

Es ergeben sich die beiden Lösungen $-9$ und $-7$. Damit können wird die Gleichung auch in ihrer faktorisierten Form $(x-(-9))\cdot (x-(-7))=0$ bzw. einfacher $(x+9)\cdot (x+7)=0$ anschreiben.
Wenn wir auf die linke Seite der Gleichung den Befehl Faktorisiere“ anwenden, erhalten wir das selbe Ergebnis. ++ ===== Aufgabe TM5-503b,e ===== Löse die folgenden Aufgaben! Gib die Ergebnisse in exakter und näherungsweiser Form an! b) $17x^2-13x-11=0$ e) $x^2 + 2\sqrt{2}\cdot x + 2 = 0 $ ++++ Ausführung mit GeoGebra ===== Aufgabe TM5-524d ===== Löse die folgende Gleichung durch Abspalten von Linearfaktoren $2x^3+21x^2+67x+60=0$ wobei $x_1=-4$ ++++ Ausführung mit GeoGebra Hinweise: * Mit dem Befehl Division(Dividend-Polynom,Divisor-Polynom) kannst du Linearfaktoren von einem Polynom abspalten, also das ein durch das anderes Polynom dividieren. * Mit dem Befehl Faktorisiere(Polynom) kannst du Polynome in ihre Produktdarstellung überführen. ===== Aufgabe TM5-565a ===== Löse die folgende Gleichungssystem: $6,4 x +7,1y =0,02$\\ $5,3x +1,5y =7,9$ ++++ Ausführung mit GeoGebra Hinweise: * Du kannst in GeoGebra das Gleichungssystem einfach dadurch lösen, dass du die beiden Eingabezeilen markierst und anschließend auf das Lösungswerkzeug Löse = klickst. * Ein Darstellung mit Dezimalzahlen erhältst du, wenn du die Lösung einfach nochmals mit dem Werkezug $\approx$ vereinfachst. ===== Aufgabe TM5-578 ===== Das Verhältnis vom Goldenen Schnitt: Zwei Größen $a$ und $b$ ergeben in Summe 1.\\ Es verhält sich $a$ zu $b$ gleich wie $1$ zu $a$.\\ Wie lautet das Verhältnis $a:b$? Also:\\ $a+b=1$\\ $a:b =1:a$ Hinweis: Das Verhältnis vom Goldenen Schnitt ist seit der Antike bekannt. Sein Wert wird mit $\Phi$ ("Phi") bezeichnet. $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,61803398874989484...$ Es tritt oft in überraschender Weise in Mathematik, Natur und Kunst auf. ++++ Ausführung mit GeoGebra Wir erhalten das Verhältnis von $a:b$ indem wir zuerst das Gleichungssystem lösen und von einer der beiden Lösungspaare das Verhältnis bilden. Anmerkung: das Verhältnis vom Goldenen Schnitt besitzt eine besonders schöne, unendliche Kettenbruchdarstellung. ++