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Mittelwert einer Funktion

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Der arithmetische Mittelwert einer Datenreihe ist gegeben durch tex:\frac 1 n \cdot \sum_{i=1}^n x_i. Liegen gleiche Werte tex:x_i vor, vereinfacht sich die Berechnung zu tex:\frac 1 n \cdot \sum_{i=1}^k a_i x_i, wobei tex:n = \sum k_i.

Liegen die Werte nicht diskret in Form einer Tabelle sondern kontinuierlich in Form eines Funktionsgraphen vor, wird aus der endlichen Summe von Produkten eine Summe von vielen kleinen Produkten; wir erhalten für den Mittelwert einer Funktion auf dem Intervall [a; b] die Formel tex:\frac 1 {b - a} \int_a^b f(x) dx.

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Aufgaben:

  • Variiere die Intervallgrenzen und beobachte den Mittelwert!
  • Wähle quadratische Funktionen, indem du die Punkte A, B oder C verschiebst und beobachte den Mittelwert!
  • Zeige, dass der Mittelwert einer Funktion für äquidistante Werte dem arithmetischen Mittelwert entspricht!
  • Vergleiche mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung!

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