Unterschiede

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komplexez_04 [2013/07/11 10:00] (aktuell)
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 +~~NOCACHE~~
 +{{ http://​thema-mathematik.at/​images/​komplexeZs.png|Screenshot:​ A. Nussbaumer}}=====Fortlaufende Potenzen komplexer Zahlen=====
 +(zu {{:​tmwiki:​tm.jpg?​222}} **7**)
  
 +Wir untersuchen die Zahlenfolge z, z<​sup>​2</​sup>,​ z<​sup>​3</​sup>,​ z<​sup>​4</​sup>,​ ... komplexer Zahlen. Der Betrag der komplexen Zahl z, die den Startwert der Folge bildet, ist entweder kleiner 1, gleich 1 oder größer 1.
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 +Im folgenden [[GeoGebra|GeoGebra-Applet]] werden die Folgenglieder in der Gauss'​schen Zahlenebene abhängig vom Folgenindex n in übereinanderliegenden Ebenen dargestellt. Auf diese Weise entsteht ein Schrägriss (Re(z), Im(z), n), in dem sich die Entwicklung der Zahlenfolge "nach oben hin" gut ablesen lässt.
 +
 +Wähle mit dem <fc #​ff0000>​**roten Punkt**</​fc>​ auf dem im Schrägriss dargestellten Mittelpunktskreis den Startwert für z und beobachte das Verhalten der Zahlenfolge!
 +
 +<​geogebra name="​http://​thema-mathematik.at/​geogebra32/​komplexeZ_04.ggb"​ width="​840px"​ height="​540px"​ />
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 +===Aufgaben:​===
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 +  * Beschreibe die Bedingungen,​ unter denen die Zahlenfolge z, z<​sup>​2</​sup>,​ z<​sup>​3</​sup>,​ z<​sup>​4</​sup>,​ ... konvergiert! Wähle dazu verschiedene Beträge für z durch Verschieben des <fc #​ff0000>​**roten Punktes P**</​fc>​ auf der reellen Zahlenachse!
 +  * Beschreibe die Bedingungen,​ unter denen die Zahlenfolge z, z<​sup>​2</​sup>,​ z<​sup>​3</​sup>,​ z<​sup>​4</​sup>,​ ... divergiert! Wähle dazu verschiedene Beträge für z durch Verschieben des <fc #​ff0000>​**roten Punktes P**</​fc>​ auf der reellen Zahlenachse!
 +  * Wie verhalten sich für konvergierende und für divergierende Zahlenfolgen z, z<​sup>​2</​sup>,​ z<​sup>​3</​sup>,​ z<​sup>​4</​sup>,​ ... jeweils die Beträge der Folgenglieder?​ Begründe!
 +  * Vergleiche mit der üblichen Darstellung der Zahlenfolge z, z<​sup>​2</​sup>,​ z<​sup>​3</​sup>,​ z<​sup>​4</​sup>,​ ... in der Gauss'​schen Zahlenebene (z.B. [[komplexeZ_02|Beispiel 3]])!
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