Vorbemerkung: Die folgenden Ausführungen beziehen sich auf die letzte Version von Derive, Derive 6.10. Leider wird dieses Programm nicht mehr vertrieben. Da es aber an den Schulen weiterhin verwendet wird, sollen die Technologieaufgaben auch mit Hilfe dieses Programms behandelt werden.
Aufgabe 56:
Findet heraus, wie ihr mit einem Computeralgebrasystem oder eurem Rechner
a) den Binomialkoeffizienten ![tex:{n \choose k}]()
,
b) ![tex:P (X = k)]()
bei Binomialverteilung,
c) ![tex:P (a \leq X \leq b)]()
bei Binomialverteilung
berechnen könnt.
Ausführung:
a) Die Funktion COMB berechnet den Binomialkoeffizienten.
COMB(n,k)
Beispiel: COMB(8,3)= 56
b) Folgende (selbstdefinierte) Funktion erledigt das Gewünschte:
k n - k
#1: BV(n, p, k) ≔ COMB(n, k)*p *(1 - p)
Beispiel: BV(8,0.5,3)= 0.21875
c) Folgende (selbstdefinierte) Funktion erledigt das Gewünschte:
e
#2: Bin(n, p, a, e) ≔ ∑ BV(n, p, k)
k=a
Beispiel: Bin(8,0.5,0,3)= 0.363281
Aufgabe 417:
Wie lassen sich mit einem CAS algebraische Gleichungen faktorisieren?
Ausführung:
Der Befehl FACTOR führt die Faktorisierung des angegebenen Polynoms aus.
Über einen optionalen Parameter (Rational, Radical oder Complex) kann gesteuert werden, wie weit die Faktorisierung ausgeführt wird.
Ausführung über Menü:
Befehlszeilenorientierte Ausführung:
5 4 3 2
#1: x - x - x + x - 2•x + 2 = 0
5 4 3 2
#2: FACTOR(x - x - x + x - 2•x + 2, Rational, x)
2 2
#3: (x - 1)•(x + 1)•(x - 2)
5 4 3 2
#4: FACTOR(x - x - x + x - 2•x + 2, Radical, x)
2
#5: (x - 1)•(x + √2)•(x - √2)•(x + 1)
5 4 3 2
#6: FACTOR(x - x - x + x - 2•x + 2, Complex, x)
#7: (x - 1)•(x + √2)•(x - √2)•(x + i)•(x - i)
Aufgabe 428:
Wie lassen sich komplexe Zahlen mit einem Computeralgebra-System
a) von der Binomialform in die Polarform
b) von der Binomialform in die Exponentialform umwandeln ?
Ausführung:
a) Die benutzerdefinierte Funktion ToPolar führt die gewünschte Umrechnung aus.
Das Ergebnis hängt von den entsprechenden Voreinstellungen (exaxt, approximiert) ab.
#1: ToPolar(z) ≔ [⎮z⎮, PHASE(z)]
#2: ToPolar(3 - 4•i)
⎡ ⎛ 1 ⎞ π ⎤
#3: ⎢5, 2•ATAN⎜---⎟ - ---⎥
⎣ ⎝ 3 ⎠ 2 ⎦
#4: [5, -0.9272952180]
b) Aus der Polarform lässt sich sofort die Exponentialform anschreiben.
Aufgabe 443:
Wie lassen sich mit einem Computeralgebra-System Potenzen komplexer Zahlen grafisch darstellen ?
Ausführung:
Um komplexe Zahlen darzustellen, müssen sie in Derive in Zahlenpaare umgewandelt werden. Diese lassen sich dann plotten.
Die benutzerdefinierten Funktion ToPoint(z) wandelt eine komplexe Zahl in einen Punkt, die benutzerdefinierten Funktion ToPoints(list) wandelt eine Liste komplexer Zahlen in eine Punkteliste um. Das Ergebnis kann jeweils unmittelbar geplottet werden.
Die benutzerdefinierte Funktion CPlot(z) fasst ToPoint(z) und ToPoints(z) zu einem Befehl zusammen.
Beispiel: Stelle die ersten vier Potenzen von z=1+i grafisch dar.
z:=1+i
cPlot(`[z,z^2,z^3,z^4]`)
#1: ToPoint(z) ≔ [RE(z), IM(z)]
#2: ToPoints(list) ≔ VECTOR(ToPoint(z_), z_, list)
CPlot(z) ≔
If VECTOR_TYPE?(z)
#3: ToPoints(z)
ToPoint(z)
#4: CPlot(3 + 4•i) = [3, 4]
⎡ 3 4 ⎤
⎢ ⎥
#5: CPlot([3 + 4•i, i, 2]) = ⎢ 0 1 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 2 0 ⎦
#6: z ≔ 1 + i
⎡ 2 3 4⎤
#7: ⎣z, z , z , z ⎦
#8: [1 + i, 2•i, -2 + 2•i, -4]
⎡ 2 4 5⎤
#9: CPlot(⎣z, z , z , z ⎦)
⎡ 1 1 ⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 2 ⎥
#10: ⎢ ⎥
⎢ -4 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ -4 -4 ⎦
Aufgabe 454:
Wie lassen sich mit einem Computeralgebra-System Wurzeln komplexer Zahlen ermitteln ?
Ausführung:
Alle n-ten Wurzeln einer komplezen Zahl `z_0` erhält man indem man die entsprechende Gleichung
`z^n=z_0` lösen lässt. Dazu kann der Befehl Solve(`z^n=z_0,z`) verwendet werden.
Beispiel: Ermittle die 3.Wurzeln aus -8.
Solve(`z^3=-8,z`)
3
#1: SOLVE(z = -8, z)
#2: z = 1 - √3•i ∨ z = 1 + √3•i ∨ z = -2
