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+=====Themen für Unterrichtsprojekte oder individuelle Forschungsreisen ;-)=====
+(zu {{tmwiki:tm.jpg?222}} **6**)
+====Kompliziertere Gleichungen lösen====
+(zu **//Thema Mathematik 6//** - Potenzen, Wurzeln, Logarithmen)
+===Beispiel: Löse die Gleichung!===
+Nicht jede Gleichung kann mit einem [[CAS|Computer-Algebra-System]] einfach gelöst werden. Versuche einmal, die Lösung der folgenden Gleichung mit dem [[CAS]] zu bestimmen, das dir zur Verfügung steht:
+<tex>\frac {\sqrt{10 + x}} {12 + \sqrt{10 + x}} + \frac {12 + \sqrt{10+x}} {\sqrt{10 + x}} = \frac {17} 4</tex>
+Vermutlich misslingt auch der Versuch, diese Wurzelgleichung "von Hand aus" durch wiederholtes Freistellen eines Wurzelausdrucks und anschließendem Quadrieren zu lösen. Wir versuchen es hier mit einem *Rechentrick* ...
+Es fällt doch auf, dass auf der linken Seite ein Bruch und sein Kehrwert addiert werden. Daher schreiben wir die Gleichung in der Form
+<tex>n + \frac 1 n = \frac {17} 4</tex>
+an. Diese Gleichung führt auf eine quadratische Gleichung in <tex>n</tex>, und wir erhalten <tex>n_1 = \frac 1 4</tex> und <tex>n_2 = 4</tex>. Seltsam, diese beiden Lösungen sind auch Kehrwerte!
+Da der Ausdruck <tex>10 + \sqrt{10+x}</tex> sicher größer ist als <tex>\sqrt{10+x}</tex>, verstehen wir die Struktur der linken Seite der Gleichung. Sie muss lauten
+<tex>\frac 1 4 + 4 = \frac {17} 4</tex>
+Daher gilt: <tex>\frac {12 + \sqrt{10+x}} {\sqrt{10 + x}} = 4</tex>
+Diese Wurzelgleichung können wir leicht lösen, wenn wir <tex>\sqrt{10+x} = u</tex> substituieren: <tex>\frac {12 + u} u = 4</tex>. Wir multiplizieren mit <tex>u</tex> und erhalten <tex>12 + u = 4u</tex> und daher <tex>u = 4</tex>.
+Im letzten Schritt berechnen wir nun die Unbekannte <tex>x</tex>: <tex>\sqrt{10 + x} = 4</tex>.
+Durch Quadrieren erhalten wir <tex>10 + x = 16</tex> und deshalb <tex>x = 6</tex>. **Fertig!**
+**Anmerkung:** [[CAS|Computer-Algebra-Systeme]] können Gleichungen wie die obige nur unzureichend lösen. Wenn du die Gleichungsstruktur durch eigene Überlegungen beispielsweise durch [[Substitution]] berücksichtigst, steigen die Chancen stark an, dass das [[CAS]] die Lösung bestimmt!
+====Kompliziertere Gleichungen aufstellen====
+Du wirst dich fragen, ob es mehr Gleichungen von der Art gibt, wie sie im letzten Beispiel behandelt wurden. Vielleicht willst du sogar selbst solche Gleichungen aufschreiben!
+Gehe dazu "den Weg rückwärts" ...
+  - Wähle z.B. die Zahl <tex>n = 3</tex> und bilde den Ausdruck <tex>n + \frac 1 n = 3 + \frac 1 3 = \frac {10} 3</tex>
+  - Bilde wie in der vorangegangenen Aufgabe einen Ausdruck, bei dem der Zähler sicher größer ist als der Nenner. Dies gelingt, wenn du mit positiven Ausdrücken hantierst - also beispielsweise <tex>\frac{10 + u} u = 3</tex>, wobei <tex>u = \sqrt{1 + x}</tex> substituiert wurde.
+  - Berechne <tex>u</tex>: <tex>10 + u = 3u \Rightarrow 10 = 2u \Rightarrow u = 5</tex>
+  - Da <tex>\sqrt{1 + x} = 5</tex>, also <tex>x = 24</tex> erfüllt ist, hast du eine ganzzahlige Lösung zur Gleichung <tex>\frac {\sqrt{1 + x}} {10 + \sqrt{1 + x}} + \frac {10 + \sqrt{1+x}} {\sqrt{1 + x}} = \frac {10} 3</tex> gefunden.
+**Anmerkung:** Du kannst verschiedene Ausgangszahlen für <tex>n</tex>, passende positive Zähler und Nenner, sowie verschiedene (positive) Ausdrücke für <tex>u</tex> wählen. Auf diese Weise erhältst du viele Gleichungen von der oben angeführten Gestalt ...

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