tech-k5:k1

Entwickle mit dem CAS eine Funktion, die nur mittels Addition das Produkt von a und b ermittelt

Überprüfe mit einem geeigneten Rechenwerkzeug (z.B. CAS), ob die ersten 7 Zahlen der Bauform 7,37,337,3337,… Primzahlen liefert.

Ausführung mit GeoGebra:

Ausführung mit TI-NSpire:

isPrime(m) liefert 'true', wenn m eine Primzahl ist, 'false', wenn m keine Primzahl ist, andernfalls wird nicht vereinfacht.

isPrime(7)          true
isPrime(37)         true
isPrime(337)        true
isPrime(3337)      false
isPrime(33337)     false
isPrime(333337)     true
isPrime(3333337)   false

Ausführung WolframAlpha:

Schreibe mit deinem CAS eine Funktion, die dir die Primzahlen in einem Intervall deiner Wahl liefern kann.

Ausführung mit GeoGebra:

Ausführung mit TI-NSpire:

Variante 1: Mit Hilfe der folgenden (selbstdefinierten) Funktion kannst du alle Zahlen n zwischen der eingegebenen Untergrenze ug und Obergrenze og finden, für die die Bedingung isPrime(n) zutrifft.

Define primzahlliste(ug,og)=Func  // ug ... Untergrenze, og ... Obergrenze (vom Benutzer anzugeben)
:Local plist,i                    // lokale Variablen
:{}→plist                         // in der Liste plist werden die Primzahlen gesammelt
:For i,ug,og                      // ( "→" wird mittels ctrl+var eingegeben)     
:  If isPrime(i) Then
:     augment(plist,{i})→plist    // augement verknüpft zwei Teillisten zu einer
:  EndIf
:EndFor
:plist                            // hier wird die Liste aller Primzahlen ausgegeben
:EndFunc

Mit dem folgenden Aufruf kann dann ein beliebiger Bereich nach Primzahlen abgesucht werden:

primzahlliste(10,20)   {11,13,17,19}
primzahlliste(2,100)   {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}

Zur Eingabe von Funktionen kann beim TI-NSpire der Programmeditor verwendet werden. Alles Nähere dazu findet sich auf Seite 457 des entsprechenden Handbuchs.

Variante 2: Wer nicht selbst eine Funktion schreiben will, kann auch den Befehl primelist(ug,og) aus der Bibliothek numtheory verwenden.

numtheory\primelist(2,100)
                                   Es gibt  25  Primzahlen zwischen  2  und  100
         {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}

Ausführung WolframAlpha:

Untersuche die Dichte der Primzahlen (Verhältnis der Anzahl der Primzahlen zu allen natürlichen Zahlen im betrachteten Bereich)

a) < 100 b) <1000 c) < 10000

Suche dazu eine geeignete Liste von Primzahlen im Internet.

Ausführung mit GeoGebra:

Ausführungmit TI-NSpire:

Mit dem Befehl primecount(2,n) aus der Bibliothek numtheory erhältst du die Anzahl aller Primzahlen im angegebenen Intervall. Damit kannst du die gewünschte Primzahldichte bis zur Zahl n leicht ermitteln.

numtheory\primecount(2,100)         25

a) 25/100 = 0.25 b) 168/1000= 0.168 c) 1229/10000 = 0.1229

Ausführung mit WolframAlpha:

Überprüfe für die Zahlen n = 1 bis n = 11, ob der Term 2ⁿ-1 eine Primzahl liefert.

Ausführung mit GeoGebra:

Ausführung mit TI-NSpire:

Du kannst einfach mit isPrime() der Reihe nach die Terme tex:2^n-1 (für n = 1,..,11) überprüfen
oder mit der Funktion seq(Term,Laufvariable,untergrenze,obergrenze) alles auf einmal erledigen:

seq(2^(n)-1,n,1,11)  
  {1,3,7,15,31,63,127,255,511,1023,2047}

seq(isPrime(2^(n)-1),n,1,11)
  {false,true,true,false,true,false,true,false,false,false,false}

D.h. für n = 2,3,5 und 7 ist tex:2^n-1 eine (Mersenne'sche) Primzahl.

Ausführung mit WolframAlpha:

Sucht im Internet nach der derzeit größten bekannten Primzahl!

Ausführung mit GeoGebra:

Ausführung mit TI-NSpire:

Ausführung mit WolframAlpha:

Entwickle mit dem CAS eine Funktion, die nur mittels Addition das Produkt von a und b ermittelt

Ausführung mit GeoGebra:

Ausführung mit TI-NSpire:

Versuchen wir das auf Seite 10 angegebene Iterationsdiagramm in Derive umzusetzen. Dazu muss man mit dem Schreiben von kleinen Programmen etwas vertraut sein. (Handbuch oder Hilfe-Funktion helfen hier ein wenig weiter, siehe auch Hinweis unten.)

Define produktadd(a,b)=
Func
:  Local p,z        // p und z sind lokale Variablen, dh. nur innerhalb der Funktion bekannt 
:  0→p              // anfangs ist das Produkt p = 0 
:  0→z              // z soll zählen, wie oft wir die Zahl b zu a addieren 
:  For z,1,b
:    p+a→p          // bei jedem Durchlauf addieren wir die Zahl a
:  EndFor
:  p                // hier wird das Produkt ausgegeben
:EndFunc

Aufruf:

produktadd(3,4)                12
produktadd(0,0)                 0

Zur Eingabe von Funktionen kann beim TI-NSpire der Programmeditor verwendet werden. Alles Nähere dazu findet sich auf Seite 457 des entsprechenden Handbuchs.

Ausführung WolframAlpha:

Entwickle mit dem CAS eine Funktion, die nur mittels Subtraktion den Quotienten und den Rest bei der ganzzahligen Division von a und b ermittelt.

Ausführung mit GeoGebra:

Ausführung mit TI-NSpire:

Versuchen wir das auf Seite 10 angegebene Iterationsdiagramm in Derive umzusetzen. Dazu muss man mit dem Schreiben von kleinen Programmen etwas vertraut sein. (Handbuch oder Hilfe-Funktion helfen hier ein wenig weiter, siehe auch Hinweis unten.)

Define ganzzahldiv(a,b)=
Func
:   Local q,r
:   0→q              // anfangs ist der Quotient = 0  
:   a→r              // der Rest wird zuerst auf a gesetzt
:   Loop
:     If r<b Then    // wir subtrahieren sooft b von r, bis der Rest r kleiner als b ist
:        Exit
:     Else
:        r-b→r
:     EndIf
:     q+1→q          // bei jeder Subtraktion erhöht sich der Quotient um 1
:   EndLoop
:  {q,r}               // schlussendlich geben wir den Quotienten q und der Rest r aus
:EndFunc

Aufruf:

ganzzahldiv(13,3)            {4,1}

Zur Eingabe von Funktionen kann beim TI-NSpire der Programmeditor verwendet werden. Alles Nähere dazu findet sich auf Seite 457 des entsprechenden Handbuchs.

Ausführung WolframAlpha:

Ermittle mit einem CAS die Teilermenge einer beliebigen natürlichen Zahl n.

Ausführung mit GeoGebra:

Mit dem Befehl TeilerListe(n) erhältst du die Liste aller Teiler der natürlichen Zahl n.

TeilerListe(28)
-> {1, 2, 4, 7, 14, 28}

Anmerkung: Der Befehl Teiler(n) liefert dir die Anzahl der Teiler von n und der Befehl Teilersumme(n) die Summe aller Teiler von n.

Teilersumme(28)
-> 56

Ausführung mit TI-NSpire:

Variante1: Du kannst den Befehl divisors(n) aus der Bibliothek numtheory verwenden, um so alle Teiler einer natürlichen Zahl n zu ermitteln.

numtheory\divisors(28)  {1,2,4,7,14,28}

Variante2: Mit Hilfe der folgenden (selbstdefinierten) Funktion kannst du alle Teiler einer natürlichen Zahl n ermitteln.

Define teiler(n)=
Func
:   Local tlist,i                    // lokale Variablen
:   {}→tlist                         // in der Liste tlist werden die Teiler gesammelt
:   For i,1,n                        // ( "→" wird mittels ctrl+var eingegeben) 
:      If mod(n,i)=0 Then            // mit mod wird überprüft, ob i die Zahl n teilt
:         augment(tlist,{i})→tlist   // augement verknüpft zwei Teillisten zu einer
:      EndIf
:   EndFor
:   tlist                            // hier wird die Liste aller Teiler ausgegeben
:EndFunc

Der Aufruf der Funktion liefert dann eine aufsteigende Liste mit den gewünschten Teilern.

teiler(28)      {1,2,4,7,14,28}

Ausführung mit WolframAlpha:

Wie lässt sich mit dem CAS der ggT bzw. das kgV ermitteln?

Ausführung mit GeoGebra:

Ausführung mit TI-NSpire:

Ausführung mit WolframAlpha:

Stelle als Kettenbrüche dar: a) $\frac{5}{3}$ b) $\frac{22}{15}$ c) $\frac{131}{100}$ d) $\frac{917}{700}$

Ausführung mit GeoGebra:

Wie lassen sich auf deinem Taschenrechner am einfachsten Zahlen von Dezimalsystem (DEC) ins Dualsystem (BIN) oder ins Hexadezimalsystem (HEX) umwandeln? Wie erfolgt die Rückumwandlung ins Dezimalsystem?

Ausführung mit GeoGebra:

Ausführung TI-NSpire:

Dezimalsystem→Dualsystem:

Variante1: Benutze den Befehl ▶Base2

7▶Base2                0b111

Variante2: Stelle mit dem Zahnrad bzw. Batteriesymbol (rechts oben in Anzeige, „Einstellungen und Status“) bei „Allgemeine Einstellungen“ die Basis auf „Binär“ um.

3                        0b11
9                      0b1001
16                    0b10000

Dualsystem→Dezimalsystem:

Variante1: Benutze den Befehl ▶Base10. Gib dabei die Dualzahl mit dem Präfix 0b ein.

0b111▶Base10                7

Variante2: Gib bei normaler Einstellung „Dezimal“ die Binärzahlen mit dem Präfix 0b ein

0b11                        3
0b1001                      9
0b10000                    16

Dezimalsystem→Hexadezimalsystem:

Variante1: Benutze den Befehl ▶Base2

200▶Base16               0hC8

Variante2: Stelle mit dem Zahnrad bzw. Batteriesymbol (rechts oben in Anzeige, „Einstellungen und Status“) bei „Allgemeine Einstellungen“ die Basis auf „Hex“ um.

16                       0h10
30                       0h1E
255                      0hFF

Hexadezimalsystem→Dezimalsystem:

Variante1: Benutze den Befehl ▶Base10. Gib dabei die Dualzahl mit dem Präfix 0h ein.

0hC8▶Base10               200

Variante2: Gib bei normaler Einstellung „Dezimal“ die Binärzahlen mit dem Präfix 0h ein

0h10                       16
30                       0h1E
255                      0hFF

Ausführung mit WolframAlpha:

C. F. Gauß entwickelte eine „Wochentagsformel“, die für beliebige Monate und Jahre gilt.

Die Wochentagszahl $w$ ergibt sich demnach durch

$w = ( a + \lfloor \frac{a}{4}\rfloor –\lfloor \frac{a}{100}\rfloor +\lfloor \frac{a}{400}\rfloor + t )\; mod\; 7$

$a$ … Vorjahreszahl. Z.B. 2001, wenn das betreffende Jahr 2002 ist.
$t$ … Tageszahl = Anzahl der Tage im gesuchten Jahr. Z.B ist am 10.Februar $t$=31+10=41.
$w$ … Zahl des Wochentages gemäß folgender Tabelle

So	Mo	Di	Mi	Do	Fr	Sa
0	1	2	3	4	5	6

a) Auf welchen Wochentag fiel der 20.2.2002?
b) Auf welchen Wochentag fällt der 20.2.2020?
c) Auf welchen Wochentag fi el dein Geburtstag?

Ausführung mit GeoGebra:

Inhaltsverzeichnis

Zahlen, Mengen, Aussagen

Aufgabe TM5-11

Aufgabe TM5-18

Aufgabe TM5-23

Aufgabe TM5-25

Aufgabe TM5-27

Aufgabe TM5-28

Aufgabe TM5-37

Aufgabe TM5-38

Aufgabe TM5-58

Aufgabe TM5-80

Aufgabe TM5-123

Aufgabe TM5-187

Aufgabe TM5-236